Use a fórmula
A=12 ointC-y d x+x d y
para encontrar a área da região varrida pela reta da origem até a hipérbole x=a cosh t, y=b senh t se t variar de t=0 a t=t0(t0 >= 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região varrida por uma reta que vai da origem até a hipérbole dada pelas equações A = 12 ointC -y , dx + x , dy e , quando o parâmetro varia de 0 até (sendo ). Para isso, vamos usar a fórmula da área que envolve integrais de linha:
Vamos precisar entender como aplicar essa fórmula usando parametrização e calcular a integral para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as parametrizações das coordenadas x(t) = a cosh t e y(t) = b sinh t e em função de :
Aqui, e são as funções hiperbólicas cosseno e seno, respectivamente. Essas funções nos ajudam a descrever a hipérbole de forma parametrizada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dxdt = a sinh t e dydt = b cosh t e em relação a , ou seja, e :
Essas derivadas nos servirão para substituir e na fórmula da área.

Passo 4

Vamos substituir A = 12 integral0^t0 ( -y(t) cdot dxdt + x(t) cdot dydt ) dt , A = 12 integral0^t0 ( -b sinh t cdot a sinh t + a cosh t cdot b cosh t ) dt , e na fórmula da área:
Substituindo os valores, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
A = ab2 integral0^t0 ( -sinh^2 t + cosh^2 t ) dt
Sabemos que A = ab2 integral0^t0 1 , dt (uma identidade das funções hiperbólicas), então:

Passo 6

Agora, é simples integrar:
A = ab2 [ t ]0^t0 = ab2 (t0 - 0) = ab t02

Resposta

A área da região varrida é .

Exercícios relacionados