Use a fórmula
para encontrar a área da região varrida pela reta da origem até a hipérbole
se
variar de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região varrida por uma reta que vai da origem até a hipérbole dada pelas equações
e
, quando o parâmetro
varia de 0 até
(sendo
). Para isso, vamos usar a fórmula da área que envolve integrais de linha:
Vamos precisar entender como aplicar essa fórmula usando parametrização e calcular a integral para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as parametrizações das coordenadas
e
em função de
:
Aqui,
e
são as funções hiperbólicas cosseno e seno, respectivamente. Essas funções nos ajudam a descrever a hipérbole de forma parametrizada.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, ou seja,
e
:
Essas derivadas nos servirão para substituir
e
na fórmula da área.
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na fórmula da área:
Substituindo os valores, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Sabemos que
(uma identidade das funções hiperbólicas), então:
Passo 6
Agora, é simples integrar:
Resposta
A área da região varrida é
.