Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
36 y^{2}=\left(x^{2}-4\right)^{3}, 2 \leq x \leq 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
36\,y^{2} = \bigl(x^{2}-4\bigr)^{3},\quad 2 \le x \le 3.
Como a curva pode ser escrita como y=y(x), vamos usar a fórmula
L = \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Isolamos y em função de x. De
36\,y^{2} = \bigl(x^{2}-4\bigr)^{3}
segue
y = \sqrt{\frac{\bigl(x^{2}-4\bigr)^{3}}{36}} = \frac{\bigl(x^{2}-4\bigr)^{3/2}}{6}.
Agora derivamos:
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{(x^{2}-4)^{3/2}}{6}\Bigr) = \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}(x^{2}-4)^{1/2}\cdot 2x = \frac{x\,(x^{2}-4)^{1/2}}{2}.

Passo 3

Calculamos o integrando:
1 + (y')^{2} = 1 + \frac{x^{2}(x^{2}-4)}{4} = \frac{4 + x^{4} - 4x^{2}}{4} = \frac{(x^{2}-2)^{2}}{4}.
Como x^{2}-2\ge0 para 2\le x\le3,
\sqrt{1+(y')^{2}} = \frac{x^{2}-2}{2}.
Logo
L = \int_{2}^{3} \frac{x^{2}-2}{2}\;dx.

Passo 4

Basta calcular
L = \frac{1}{2}\int_{2}^{3}(x^{2}-2)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[\frac{x^{3}}{3} - 2x\Bigr]_{2}^{3} = \frac{1}{2}\Bigl(\bigl(9-6\bigr) - \bigl(\tfrac{8}{3}-4\bigr)\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{13}{3} = \frac{13}{6}.

Resposta

L = \frac{13}{6}.

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