Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=\frac{2}{3}\left(1+x^{2}\right)^{3 / 2}, 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = \frac{2}{3}\bigl(1 + x^{2}\bigr)^{3/2},\quad 0 \le x \le 1
e pede o comprimento de arco. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma função y(x) no intervalo [a,b]:
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada y'. Como
y = \frac{2}{3}(1 + x^{2})^{3/2},
usando a regra da cadeia temos
y' = \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(1 + x^{2})^{1/2}\cdot 2x = 2x\,\sqrt{1 + x^{2}}.

Passo 3

Agora avaliamos 1 + (y')^{2}:
1 + (y')^{2} = 1 + \bigl(2x\sqrt{1+x^{2}}\bigr)^{2} = 1 + 4x^{2}(1 + x^{2}) = 4x^{4} + 4x^{2} + 1 = \bigl(2x^{2} + 1\bigr)^{2}.
Como 2x^{2}+1\ge0 em [0,1], temos
\sqrt{1 + (y')^{2}} = 2x^{2} + 1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L = \int_{0}^{1} (2x^{2} + 1)\,dx.
Integramos:
\int(2x^{2} + 1)\,dx = \frac{2x^{3}}{3} + x + C,
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L = \Bigl[\frac{2x^{3}}{3} + x\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(\frac{2}{3} + 1\Bigr) - 0 = \frac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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