Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
x=e^{2 y}+\frac{1}{4} e^{-2 y}, 0 \leq y \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por
x = e^{2y} + \tfrac14\,e^{-2y}, \quad 0 \le y \le 1.
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula do comprimento de arco em função de y:
L = \int_{y=a}^{y=b} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2}}\;dy.

Passo 2

Calculamos a derivada de x em relação a y.
\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\Bigl(e^{2y}\Bigr) + \frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac14\,e^{-2y}\Bigr) = 2\,e^{2y} \;-\;\tfrac12\,e^{-2y}.

Passo 3

Substituímos em 1 + (dx/dy)^{2}. Seja
A = 2\,e^{2y}, \quad B = \tfrac12\,e^{-2y},
então
\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2} = (A - B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2} = 4\,e^{4y} \;-\;2 + \tfrac14\,e^{-4y}.
Logo
1 + \Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2} = 4\,e^{4y} - 1 + \tfrac14\,e^{-4y}.

Passo 4

Assim o comprimento de arco fica
L = \int_{0}^{1} \sqrt{\,1 + \Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2}\,}\;dy = \int_{0}^{1} \sqrt{\,4\,e^{4y} \;-\;1 \;+\;\tfrac14\,e^{-4y}\,}\;dy.

Resposta

L = \int_{0}^{1} \sqrt{\,4\,e^{4y} \;-\;1 \;+\;\tfrac14\,e^{-4y}\,}\;dy.

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