Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=(x+4)^{1 / 2}, 0 \leq x \leq 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
y = \sqrt{x+4}, \quad 0 \le x \le 4.
O conteúdo é “comprimento de arco de uma curva em coordenadas cartesianas” e vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y. Como y = (x+4)^{1/2},
y'(x) = \frac{1}{2}(x+4)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}.
Logo
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2} = 1 + \frac{1}{4\,(x+4)} = \frac{4(x+4) + 1}{4(x+4)} = \frac{4x + 17}{4(x+4)}.

Passo 3

Substituindo em L, obtemos
L = \int_{0}^{4} \sqrt{\frac{4x+17}{4(x+4)}}\;dx = \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{4x+17}}{2\,\sqrt{x+4}}\;dx.

Passo 4

Para facilitar, faça a mudança de variável
u = \sqrt{x+4} \quad\Longrightarrow\quad x = u^{2} - 4,\quad dx = 2u\,du.
Quando x=0, u=2; quando x=4, u=2\sqrt2. Também
\sqrt{4x+17} = \sqrt{4(u^{2}-4)+17} = \sqrt{4u^{2}+1}.
Assim
L = \int_{u=2}^{2\sqrt2} \frac{\sqrt{4u^{2}+1}}{2u}\;\bigl(2u\,du\bigr) = \int_{2}^{2\sqrt2} \sqrt{4u^{2}+1}\;du.

Passo 5

Reconhecemos a integral padrão
\int \sqrt{4u^{2}+1}\;du = \frac{u}{2}\,\sqrt{4u^{2}+1} + \frac{1}{4}\,\ln\bigl(2u + \sqrt{4u^{2}+1}\bigr) + C.
Então avaliamos de u=2 a u=2\sqrt2.

Passo 6

Em u = 2\sqrt2:
\sqrt{4u^{2}+1} = \sqrt{33},\quad \frac{u}{2}\sqrt{4u^{2}+1} = \sqrt{66},\quad \ln\bigl(2u+\sqrt{4u^{2}+1}\bigr) = \ln\bigl(4\sqrt2 + \sqrt{33}\bigr).
Em u = 2:
\sqrt{4\cdot 2^{2}+1} = \sqrt{17},\quad \frac{u}{2}\sqrt{4u^{2}+1} = \sqrt{17},\quad \ln\bigl(2u+\sqrt{4u^{2}+1}\bigr) = \ln\bigl(4 + \sqrt{17}\bigr).
Subtraindo, resulta
L = \Bigl(\sqrt{66} + \tfrac{1}{4}\ln(4\sqrt2+\sqrt{33})\Bigr) - \Bigl(\sqrt{17} + \tfrac{1}{4}\ln(4+\sqrt{17})\Bigr)

Resposta

L = \sqrt{66} - \sqrt{17} + \tfrac{1}{4}\,\ln\!\biggl(\frac{4\sqrt2+\sqrt{33}}{4+\sqrt{17}}\biggr).

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