Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=\frac{1}{2} \ln (\operatorname{sen} 2 x), \pi / 8 \leq x \leq \pi / 6

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = \tfrac12 \ln\bigl(\sin(2x)\bigr), \qquad \frac{\pi}{8}\le x\le\frac{\pi}{6},
usando a fórmula do comprimento de arco
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.
Aqui (a,b) = (\pi/8,\pi/6). Vamos precisar derivar y e simplificar o integrando.

Passo 2

Derivando
y(x) = \tfrac12 \ln\bigl(\sin(2x)\bigr)
temos
y'(x) = \tfrac12 \cdot \frac{1}{\sin(2x)}\cdot \cos(2x)\cdot 2 = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \cot(2x).

Passo 3

No integrando surge
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2 = 1 + \cot^2(2x) = \csc^2(2x),
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\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2} = \sqrt{\csc^2(2x)} = \lvert \csc(2x)\rvert.
Como em x\in[\pi/8,\pi/6] temos 2x\in[\pi/4,\pi/3] e \sin(2x)>0, fica
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2} = \csc(2x).

Passo 4

O comprimento é
L = \int_{\pi/8}^{\pi/6} \csc(2x)\,dx.
Fazendo a troca de variável u=2x, du=2\,dx, isto é dx = \tfrac12\,du, os limites vão de u=\pi/4 a u=\pi/3. Então
L = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \csc(u)\,\frac12\,du = \frac12 \int_{\pi/4}^{\pi/3} \csc(u)\,du.
Sabemos que
\int \csc(u)\,du = -\ln\bigl\lvert \csc(u)+\cot(u)\bigr\rvert + C.

Passo 5

Aplicando a primitiva nos limites,
L = \frac12 \Bigl[ -\ln\bigl(\csc u+\cot u\bigr) \Bigr]_{u=\pi/4}^{u=\pi/3} = \frac12 \Bigl[ -\ln\bigl(\csc(\tfrac{\pi}{3})+\cot(\tfrac{\pi}{3})\bigr) + \ln\bigl(\csc(\tfrac{\pi}{4})+\cot(\tfrac{\pi}{4})\bigr) \Bigr].
Calculando: \csc(\tfrac{\pi}{4})=\sqrt2, \cot(\tfrac{\pi}{4})=1, soma \sqrt2+1. \csc(\tfrac{\pi}{3})=2/\sqrt3, \cot(\tfrac{\pi}{3})=1/\sqrt3, soma (2+1)/\sqrt3=\sqrt3.
Então
L = \frac12 \bigl[\ln(\sqrt2+1) - \ln(\sqrt3)\bigr] = \frac12 \ln\!\biggl(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt3}\biggr).

Resposta

L = \frac12 \ln\!\biggl(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt3}\biggr).

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