Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=\frac{2}{3} x^{3 / 2}, 0 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = \frac{2}{3}\,x^{3/2},\quad 0 \le x \le 2.
O conteúdo usado é a fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x) no intervalo [a,b]:
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada y'. Para
y = \frac{2}{3}\,x^{3/2}
temos
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2}{3}\,x^{3/2}\Bigr) = \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\,x^{1/2} = x^{1/2}.

Passo 3

Substituímos y' = x^{1/2} na fórmula do comprimento de arco:
L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + \bigl(x^{1/2}\bigr)^{2}}\;dx = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + x}\;dx.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{2} \sqrt{1 + x}\;dx
fazemos a substituição u = 1 + x, logo du = dx. Quando x=0, u=1; quando x=2, u=3. A integral vira
\int_{1}^{3} \sqrt{u}\;du = \int_{1}^{3} u^{1/2}\;du = \left[\frac{2}{3}\,u^{3/2}\right]_{1}^{3} = \frac{2}{3}\bigl(3^{3/2} - 1^{3/2}\bigr).
Como 3^{3/2} = 3\sqrt{3}, isso fica
\frac{2}{3}\,(3\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}.

Resposta

O comprimento da curva é
L = 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}.

Exercícios relacionados