Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
x=\frac{1}{3}\left(y^{2}+2\right)^{3 / 2} de y=0 até y=1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
x=\frac{1}{3}\bigl(y^{2}+2\bigr)^{3/2}
para y variando de 0 até 1.
O conteúdo é aplicação da fórmula do comprimento de arco em coordenadas paramétricas (aqui o parâmetro é y):
L = \int_{y=0}^{y=1} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2}}\;dy.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \tfrac{dx}{dy}.
Como
x(y) = \frac{1}{3}(y^{2}+2)^{3/2},
usamos a regra da cadeia:
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}(y^{2}+2)^{1/2}\cdot 2y = y\,(y^{2}+2)^{1/2}.

Passo 3

Substituímos na fórmula do comprimento de arco o termo \bigl(\tfrac{dx}{dy}\bigr)^{2}:
\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2} = y^{2}(y^{2}+2).
Então o integrando fica
\sqrt{1 + y^{2}(y^{2}+2)} = \sqrt{1 + y^{4} + 2y^{2}} = \sqrt{(y^{2}+1)^{2}} = y^{2}+1,
pois y^{2}+1 é não-negativo em [0,1].

Passo 4

O comprimento é então
L = \int_{0}^{1} (y^{2}+1)\;dy.
Integramos:
\int (y^{2}+1)\,dy = \frac{y^{3}}{3} + y.

Passo 5

Avaliamo-la de 0 a 1:
L = \Bigl[\frac{y^{3}}{3} + y\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(\frac{1^{3}}{3} + 1\Bigr) - 0 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}.

Resposta

L = \frac{4}{3}.

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