Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=\ln \left(1-x^{2}\right), 0 \leq x \leq \frac{1}{7}

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva y=\ln\bigl(1-x^{2}\bigr) no intervalo 0\le x\le \tfrac{1}{7}. O conteúdo aqui é comprimento de arco de função y=f(x), cuja fórmula é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calcular a derivada de y. Como y=\ln\bigl(1-x^{2}\bigr), pela regra da cadeia
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(1-x^{2}\bigr) =\frac{1}{1-x^{2}}\cdot(-2x) =-\frac{2x}{1-x^{2}}.

Passo 3

Substituir em L=\displaystyle\int_{0}^{1/7}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx:
L=\int_{0}^{1/7}\sqrt{1+\left(-\frac{2x}{1-x^{2}}\right)^{2}}\;dx =\int_{0}^{1/7}\sqrt{1+\frac{4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}}\;dx.

Passo 4

Colocar sob um único radicando:
1+\frac{4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{(1-x^{2})^{2}+4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{1-2x^{2}+x^{4}+4x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{1+2x^{2}+x^{4}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{(1+x^{2})^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.
Logo
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}} =\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.

Passo 5

O comprimento fica
L=\int_{0}^{1/7}\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\;dx.
Fazer divisão de polinômios:
\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} =-1+\frac{2}{1-x^{2}}.

Passo 6

Integrar termo a termo:
\int\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\,dx =\int\Bigl(-1+\frac{2}{1-x^{2}}\Bigr)\,dx =-x+2\int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx.
E sabemos que
\int\frac{1}{1-x^{2}}\,dx =\tfrac12\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr),
portanto
\int\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\,dx =-x+\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr).

Passo 7

Avaliar de 0 a \tfrac{1}{7}:
L=\Bigl[-x+\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr)\Bigr]_{0}^{1/7} =\Bigl(-\tfrac{1}{7}+\ln\!\frac{1+\tfrac{1}{7}}{1-\tfrac{1}{7}}\Bigr) -\bigl(0+\ln1\bigr).
Como \ln\!\frac{1+\tfrac17}{1-\tfrac17}=\ln\!\frac{8/7}{6/7}=\ln\!\frac{4}{3} e \ln1=0, temos

Resposta

L=\ln\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)\;-\;\tfrac{1}{7}.

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