Use a fórmula de mudança de variáveis para calcular a integral definida.
integral0^1(3 t-1)^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1(3t-1)^2,dt
usando a técnica de mudança de variável (substituição). Vamos aplicar a fórmula
integrala^bf(g(t)),g'(t),dt ;=;integralg(a)^g(b)f(u),du

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3t-1, então du = 3,dt Longrightarrow dt = du3
Os limites em t transformam-se em u:
- Para t=0: u=3cdot0-1=-1.
- Para t=1: u=3cdot1-1=2.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
integral0^1(3t-1)^2,dt =integralu=-1^u=2u^2,du3 =13integral-1^2u^2,du

Passo 4

Calculemos integral-1^2u^2,du. A primitiva de u^2 é u^3/3, logo
integral-1^2u^2,du =l[tfracu^33r]-1^2 =2^33-(-1)^33 =83-l(-13r) =93 =3

Passo 5

Voltando ao fator tfrac13, temos
13integral-1^2u^2,du =13cdot 3 =1

Resposta

1

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