Use a fórmula de mudança de variáveis para calcular a integral definida.
integral0^2 d xraiz2 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 dxraiz2x+5
usando a técnica de mudança de variável. Vamos definir uma nova variável de forma a simplificar a raiz quadrada no denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x + 5
Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Também precisamos transformar os limites de integração:
quando x=0, u = 2cdot0 + 5 = 5;
quando x=2, u = 2cdot2 + 5 = 9.

Passo 3

Substituindo u e dx na integral original, obtemos
integral0^2 dxraiz2x+5 = integralu=5^u=9 1raizu cdot du2 = 12 integral5^9 u^-tfrac12,du

Passo 4

Para integrar u^-tfrac12, usamos a fórmula
integral u^n,du = u^n+1n+1 (nneq -1)
Aqui n = -tfrac12, logo
integral u^-tfrac12,du = u^-tfrac12 +1-tfrac12 +1 = u^tfrac12tfrac12 = 2,u^tfrac12
Assim,
12 integral5^9 u^-tfrac12,du = 12 l[2,u^tfrac12r]5^9 = l[u^tfrac12r]5^9 = raiz9 - raiz5

Resposta

integral0^2 dxraiz2x+5 = 3 - raiz5

Exercícios relacionados