Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral 4 z^2+54 z+134(z-1)(z+5)(z+3) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 4z^2 + 54z + 134(z-1)(z+5)(z+3) ,dz
usando frações parciais. O conteúdo é decompor a função racional em termos simples do tipo tfracAz-1+tfracBz+5+tfracCz+3 e então integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Começamos escrevendo a forma de frações parciais:
4z^2 + 54z + 134(z-1)(z+5)(z+3) = Az-1 + Bz+5 + Cz+3
Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z+5)(z+3), obtemos a identidade
4z^2 + 54z + 134 = A,(z+5)(z+3) + B,(z-1)(z+3) + C,(z-1)(z+5)

Passo 3

Expandindo cada termo do lado direito:
A(z^2+8z+15) + B(z^2+2z-3) + C(z^2+4z-5)
Agrupando coeficientes de z^2, z e termo constante, igualamos a 4z^2+54z+134, o que gera o sistema
A + B + C = 4, 8A + 2B + 4C = 54, 15A - 3B - 5C = 134

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação B = 4 - A - C.
Substituindo em 8A+2B+4C=54 3A + C = 23.
Substituindo também em 15A -3B -5C =134 9A - C = 73.
Somando estas duas últimas equações resulta em 12A = 96, logo A = 8.
Então 3cdot8 + C = 23 implica C = -1, e finalmente B = 4 - 8 -(-1) = -3.

Passo 5

A decomposição final é
4z^2 + 54z + 134(z-1)(z+5)(z+3) = 8z-1 - 3z+5 - 1z+3
Assim a integral se torna
integral 8z-1,dz ;-;integral 3z+5,dz ;-;integral 1z+3,dz

Passo 6

Integrando cada termo, lembrando que integral tfrac1z-a,dz = ln|z-a|:
8ln|z-1| ;-;3ln|z+5|;-;ln|z+3| + C

Resposta

8ln|z-1| - 3ln|z+5| - ln|z+3| + C

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