Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral -19 t+50 t-25t^2(3 t-5) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 31t - 25t^2(3t - 5),dt
usando frações parciais.
Conteúdo: decompor
31t - 25t^2(3t - 5)
nas parcelas
At + Bt^2 + C3t - 5,
e depois aplicar as integrais padrão
integral t^-1dt=ln|t|,
integral t^-2dt=-t^-1 e
integral13t-5dt=13ln|3t-5|.

Passo 2

Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo:
Comparando coeficientes:
Da terceira equação

Passo 3

Logo a decomposição é
31t - 25t^2(3t - 5) = -165,1t + 5,1t^2 + 485,13t-5
Assim
integral 31t - 25t^2(3t - 5),dt = -165integral1tdt + 5integral t^-2dt + 485integral13t-5dt

Passo 4

Calculando cada parte:
-165integral1tdt = -165ln|t|,
5integral t^-2dt = 5l(-t^-1r) = -5t,
485integral13t-5dt = 485cdot13ln|3t-5| = 165ln|3t-5|
Somando e acrescentando a constante C, fica

Resposta

integral 31t - 25t^2(3t - 5),dt = -165ln|t| -5t +165ln|3t-5| + C

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