Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede
e indica usar frações parciais. O conteúdo aqui é decompor uma função racional, fatorar o denominador e escrever uma soma de termos mais simples que possamos integrar.
Passo 2
Fatoramos o denominador
e propomos a decomposição
Multiplicando pelo denominador comum e somando os numeradores, obtemos
que deve igualar . Deste confronto vêm as equações
Passo 3
Resolvendo o sistema:
De A+C=0 e 4A+C=3 segue 3A=3, logo A=1 e C=-1.
De B+D=1 e 4B+D=1 segue 3B=0, logo B=0 e D=1.
Assim
t^2+3t+1(t^2+1)(t^2+4) =tt^2+1+-,t+1t^2+4
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
integral tt^2+1,dt = tfrac12lnl(t^2+1r).
integral -,tt^2+4,dt = -tfrac12lnl(t^2+4r).
integral 1t^2+4,dt = 12arctan!l(tfract2r).
Passo 5
Somando as três parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos