Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral t^2+3 t+1t^4+5 t^2+4 d t

Passo 1

O enunciado pede
integral t^2+3t+1t^4+5t^2+4,dt
e indica usar frações parciais. O conteúdo aqui é decompor uma função racional, fatorar o denominador e escrever uma soma de termos mais simples que possamos integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador
t^4+5t^2+4=(t^2+1)(t^2+4)
e propomos a decomposição
t^2+3t+1(t^2+1)(t^2+4) =At+Bt^2+1+Ct+Dt^2+4
Multiplicando pelo denominador comum e somando os numeradores, obtemos
(At+B)(t^2+4)+(Ct+D)(t^2+1) =(A+C)t^3+(B+D)t^2+(4A+C)t+(4B+D)
que deve igualar t^2+3t+1. Deste confronto vêm as equações
A+C=0, B+D=1, 4A+C=3, 4B+D=1

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  • De A+C=0 e 4A+C=3 segue 3A=3, logo A=1 e C=-1.
  • De B+D=1 e 4B+D=1 segue 3B=0, logo B=0 e D=1.
Assim
t^2+3t+1(t^2+1)(t^2+4) =tt^2+1+-,t+1t^2+4

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  1. integral tt^2+1,dt = tfrac12lnl(t^2+1r).
  2. integral -,tt^2+4,dt = -tfrac12lnl(t^2+4r).
  3. integral 1t^2+4,dt = 12arctan!l(tfract2r).

Passo 5

Somando as três parcelas e incluindo a constante de integração C, obtemos
12lnl(t^2+1r) -12lnl(t^2+4r) +12arctan!l(tfract2r) +C

Resposta

boxed integral t^2+3t+1t^4+5t^2+4,dt =12ln!t^2+1t^2+4 +12arctan!l(tfract2r) +C

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