Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral 11 x+22 x^2-5 x-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 11x+22x^2-5x-3,dx
usando frações parciais. Isso envolve três etapas principais: fatorar o denominador, decompor em frações simples e depois usar a fórmula básica
integral dxax+b = 1alnl|ax+br|+C

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador 2x^2-5x-3. Buscamos raízes de
2x^2-5x-3=0
Pelas raízes x=3 e x=-tfrac12, obtemos a fatoração
2x^2-5x-3 = (x-3)(2x+1)

Passo 3

Procuramos constantes
Multiplicando por
Expandindo,
Igualando coeficientes em e termo constante:
Da segunda equação . Assim

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 11x+22x^2-5x-3,dx = integral 5x-3,dx + integral 12x+1,dx
Usando integral dxx-3=ln|x-3| e integral dx2x+1=tfrac12ln|2x+1|, vem
integral 5x-3,dx = 5lnl|x-3r|, integral 12x+1,dx = tfrac12lnl|2x+1r|

Resposta

integral 11x+22x^2-5x-3,dx = 5lnl|x-3r| + tfrac12lnl|2x+1r| + C

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