Use a fórmula de mudança de variáveis para calcular a integral definida.
integral0^1 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 xl(x^2+1r)^3,dx
O conteúdo principal é mudança de variável, pois vemos x^2+1 no denominador e x,dx no numerador, o que sugere a substituição u=x^2+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+1 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Também ajustamos os limites: quando x=0, u=0^2+1=1; quando x=1, u=1^2+1=2.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
integral0^1 x(x^2+1)^3,dx = integralu=1^u=2 1u^3;du2 = 12,integral1^2 u^-3,du

Passo 4

Calculamos a integral de u^-3:
integral u^-3,du = u^-2-2
Dessa forma
12,integral1^2 u^-3,du = 12,l[u^-2-2r]1^2 = -14,l[u^-2r]1^2

Passo 5

Avaliamo-mos entre u=1 e u=2:
-14l(2^-2-1^-2r) = -14l(tfrac14-1r) = -14cdotl(-tfrac34r) = 316

Resposta

316

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