Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral z^3+6 z^2+3 z+16z^3+4 z d z

Passo 1

O enunciado pede
integral z^3+6z^2+3z+16z^3+4z,dz
usando frações parciais. Vamos precisar de divisão de polinômios (quando o grau do numerador >= grau do denominador), e depois das integrais básicas
integral 1/z,dz, integral z/(z^2+a^2),dz e integral 1/(z^2+a^2),dz.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios
z^3+6z^2+3z+16z^3+4z =1+(z^3+6z^2+3z+16)-(z^3+4z)z^3+4z =1+6z^2-z+16z(z^2+4)
Logo
integral z^3+6z^2+3z+16z^3+4z,dz =integral 1,dz+integral 6z^2-z+16z(z^2+4),dz

Passo 3

Decompondo
6z^2-z+16z(z^2+4) =Az+Bz+Cz^2+4
Multiplicando por z(z^2+4):
6z^2-z+16 =A(z^2+4)+(Bz+C)z =(A+B)z^2+Cz+4A
Comparando coeficientes:
A+B=6, C=-1, 4A=16implies A=4,;B=2,;C=-1

Passo 4

Substituindo os coeficientes,
6z^2-z+16z(z^2+4) =4z+2z-1z^2+4
Logo a integral total fica
integral 1,dz +4integral 1z,dz +integral 2zz^2+4,dz -integral 1z^2+4,dz

Passo 5

Calculamos cada parte:
integral 1,dz = z, 4integral 1z,dz = 4lnlvert zrvert,
integral 2zz^2+4,dz =lnl(z^2+4r), integral 1z^2+4,dz =12arctan!l(tfracz2r)

Passo 6

Somando tudo, obtemos
integral z^3+6z^2+3z+16z^3+4z,dz =z+4lnlvert zrvert +lnl(z^2+4r) -12arctan!l(tfracz2r)+C

Resposta

z+4lnlvert zrvert+lnl(z^2+4r)-tfrac12arctan!l(tfracz2r)+C

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