Use frações parciais para determinar as seguintes integrais.
integral 3 x-5x(x-2) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular
integral 3x-5x(x-2) , dx
usando frações parciais. O lance é decompor essa função racional em pedaços que a gente já sabe integrar.

Passo 2

A gente assume que
3x-5x(x-2) = Ax + Bx-2
Multiplicando em cruz por x(x-2):
3x - 5 = A(x-2) + Bx = (A+B)x - 2A
Comparando coeficientes de x e termo constante, chega-se em
A + B = 3
-2A = -5
Logo A = tfrac52 e B = tfrac12.

Passo 3

Substituindo de volta na integral:
integral 3x-5x(x-2) , dx = integral l(tfrac5/2x + tfrac1/2x-2r) dx = tfrac52integral dxx + tfrac12integral dxx-2
Como já conhecemos as integrais padrões
integral dxx = ln|x|, integral dxx-2 = ln|x-2|,
podemos escrever o antiderivada.

Passo 4

Assim, uma primitiva da função é
F(x) = 52ln|x| + 12ln|x-2|

Resposta

integral 3x-5x(x-2) , dx = 52ln|x| + 12ln|x-2| + C

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