Use indução matemática para provar que cada uma das afirmações abaixo é verdadeira para todo natural n \geq 1.
2 \cdot 1+4 \cdot 3+6 \cdot 5+\cdots+2 n(2 n-1)=\frac{n(n+1)(4 n-1)}{3}.

Passo 1

O enunciado pede que provemos, por indução matemática, que para todo natural n\ge1 vale
2\cdot1+4\cdot3+6\cdot5+\cdots+2n(2n-1)=\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}.
O conteúdo aqui é o princípio da indução: verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=1. O lado esquerdo é
2\cdot1 = 2,
e o lado direito é
\frac{1\cdot(1+1)\bigl(4\cdot1-1\bigr)}{3} = \frac{1\cdot2\cdot3}{3} =2.
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja válida para um n=k\ge1, ou seja,
2\cdot1+4\cdot3+\cdots+2k(2k-1) =\frac{k(k+1)(4k-1)}{3}.

Passo 4

Passo indutivo. Queremos mostrar que ela vale para n=k+1. Começamos somando o termo de índice k+1 à hipótese:
2\cdot1+\cdots+2k(2k-1)+2(k+1)\bigl(2(k+1)-1\bigr).
Pela hipótese de indução isso é
\frac{k(k+1)(4k-1)}{3} +2(k+1)(2k+1).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{k(k+1)(4k-1)}{3} +\frac{3\cdot2(k+1)(2k+1)}{3} =\frac{(k+1)\bigl[k(4k-1)+6(2k+1)\bigr]}{3}.
No colchete:
k(4k-1)+6(2k+1) =4k^2-k+12k+6 =4k^2+11k+6 =(4k+3)(k+2).
Então obtemos
\frac{(k+1)(k+2)(4k+3)}{3} =\frac{(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)\bigl(4(k+1)-1\bigr)}{3},
que é exatamente a fórmula com n=k+1. Assim, o passo indutivo está completo.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
2\cdot1+4\cdot3+\cdots+2n(2n-1) =\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}
é verdadeira para todo natural n\ge1.

Resposta

A fórmula está provada, valendo para todo n\ge1:
2\cdot1+4\cdot3+6\cdot5+\cdots+2n(2n-1) =\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}.

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