Use indução matemática para provar que cada uma das afirmações abaixo é verdadeira para todo natural
.
.
Passo 1
O enunciado pede que provemos, por indução matemática, que para todo natural
vale
O conteúdo aqui é o princípio da indução: verificar o caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Caso base
. O lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja válida para um
, ou seja,
Passo 4
Passo indutivo. Queremos mostrar que ela vale para
. Começamos somando o termo de índice
à hipótese:
Pela hipótese de indução isso é
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
No colchete:
Então obtemos
que é exatamente a fórmula com
. Assim, o passo indutivo está completo.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
é verdadeira para todo natural
.
Resposta
A fórmula está provada, valendo para todo
: