Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
\int x^{2} \ln (2 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\,\ln(2x)\,\mathrm{d}x
usando o método de integração por partes. Aqui o conteúdo é a regra
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u
e, quando for preciso, a técnica de substituição para derivar ou integrar expressões compostas.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(2x) \qquad\text{e}\qquad \mathrm{d}v = x^{2}\,\mathrm{d}x.
Para obter \mathrm{d}u, aplicamos a regra da cadeia: seja t=2x, então
\mathrm{d}t = 2\,\mathrm{d}x \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}u = \mathrm{d}(\ln t) = \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2x}\cdot 2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Agora integramos \mathrm{d}v para encontrar v:
v = \int x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes
\int x^{2}\,\ln(2x)\,\mathrm{d}x = u\,v \;-\;\int v\,\mathrm{d}u = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(2x)\;-\;\int \frac{x^{3}}{3}\,\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
Isso simplifica para
\frac{x^{3}}{3}\,\ln(2x) -\frac{1}{3}\int x^{2}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calculamos a integral restante:
\int x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3}.
Logo
-\frac{1}{3}\int x^{2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{x^{3}}{9}.

Passo 6

Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int x^{2}\,\ln(2x)\,\mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(2x) -\frac{x^{3}}{9} + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\,\ln(2x) -\frac{x^{3}}{9} + C.

Exercícios relacionados