Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma a+i b.
integrali^1+i z e^z d z

Passo 1

Vamos resolver a integral integrali^1+i z e^z , dz usando a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos lembrar como funciona a integração por partes e identificar as partes que vamos usar nessa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será u e o que será dv na nossa integral integral z e^z , dz.

Passo 3

Escolhemos:
u = z e dv = e^z , dz
Agora, vamos calcular du e v:
du = dz e v = integral e^z , dz = e^z

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral z e^z , dz = u , v - integral v , du = z e^z - integral e^z , dz
Agora, precisamos calcular a última integral.

Passo 5

A integral integral e^z , dz é simples de resolver:
integral e^z , dz = e^z + C
Portanto, substituindo de volta:
integral z e^z , dz = z e^z - e^z + C

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral definida de i a 1 + i:
integrali^1+i z e^z , dz = [ z e^z - e^z ]i^1+i
Isso significa que vamos avaliar z e^z - e^z nos limites superiores e inferiores e subtrair.

Passo 7

Primeiro, avaliamos em z = 1 + i:
(1+i) e^1+i - e^1+i = [(1+i) - 1] e^1+i = i e^1+i
Agora, em z = i:
i e^i - e^i = (i - 1) e^i

Passo 8

Subtraindo as duas avaliações:
i e^1+i - (i - 1) e^i = i e^1+i - i e^i + e^i
Podemos fatorar i e simplificar:
i (e^1+i - e^i) + e^i

Passo 9

Agora, expressamos e^1+i e e^i usando a fórmula de Euler:
e^1+i = e cdot e^i = e (cos 1 + i sin 1)
e^i = cos 1 + i sin 1
Substituindo de volta:
i [e (cos 1 + i sin 1) - (cos 1 + i sin 1)] + (cos 1 + i sin 1)

Passo 10

Distribuindo o i:
i e cos 1 + i cdot i e sin 1 - i cos 1 - i cdot i sin 1 + cos 1 + i sin 1
Lembrando que i^2 = -1, temos:
i e cos 1 - e sin 1 - i cos 1 + sin 1 + cos 1 + i sin 1

Passo 11

Agrupando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
- e sin 1 + sin 1 + cos 1
Parte imaginária:
i e cos 1 - i cos 1 + i sin 1
Fatorando:
(- e sin 1 + sin 1 + cos 1) + i (e cos 1 - cos 1 + sin 1)

Resposta

A integral avaliada de i a 1 + i é:
( - e sin 1 + sin 1 + cos 1 ) + i ( e cos 1 - cos 1 + sin 1 )
Ou seja, na forma a + i b:
a = - e sin 1 + sin 1 + cos 1
b = e cos 1 - cos 1 + sin 1

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