Use a integração por partes para calcular a integral dada. Escreva a resposta na forma
.
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos lembrar como funciona a integração por partes e identificar as partes que vamos usar nessa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher o que será
e o que será
na nossa integral
.
Passo 3
Escolhemos:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, precisamos calcular a última integral.
Passo 5
A integral
é simples de resolver:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral definida de
a
:
Isso significa que vamos avaliar
nos limites superiores e inferiores e subtrair.
Passo 7
Primeiro, avaliamos em
:
Agora, em
:
Passo 8
Subtraindo as duas avaliações:
Podemos fatorar
e simplificar:
Passo 9
Agora, expressamos
e
usando a fórmula de Euler:
Substituindo de volta:
Passo 10
Distribuindo o
:
Lembrando que
, temos:
Passo 11
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte real:
Parte imaginária:
Fatorando:
Resposta
A integral avaliada de
a
é:
Ou seja, na forma
: