Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int x^{2}\ln x\,dx.
Informações relevantes dadas: a integranda é x^{2}\ln x. Para que \ln x seja real, assumimos que x>0. O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\ln x, e apresentar a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes do integrando escolhidas por nós. Aqui:
  • u é uma função que vamos diferenciar para obter du,
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
    A ideia é escolher u de modo que du seja mais simples que u, e escolher dv que seja fácil de integrar.

Passo 3

Escolha das partes (explicação amigável): para produtos com \ln x costuma-se escolher u=\ln x porque sua derivada é simples ( 1/x), e deixar o polinômio como dv. Então escolho
u=\ln x,\qquad dv=x^{2}\,dx.
Agora calculo du e v:
  • Diferenciando u: du = \dfrac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \dfrac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv: v = \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{2}\ln x\,dx = \left(\ln x\right)\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right) - \int \left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)\left(\dfrac{1}{x}\,dx\right).
Simplificando o integrando na segunda parcela:
\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^{2}}{3},
logo
\int x^{2}\ln x\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \dfrac{1}{3}\int x^{2}\,dx.

Passo 5

Calculo a integral restante \int x^{2}\,dx:
\int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
Substituindo de volta:
\int x^{2}\ln x\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{x^{3}}{3} + C.
Multiplicando os coeficientes:
\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{9},
portanto
\int x^{2}\ln x\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \dfrac{x^{3}}{9} + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando o resultado para conferir que volta à integranda): seja
F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \dfrac{x^{3}}{9}.
Derivando termo a termo (usando regra do produto no primeiro termo):
  • Derivada de \dfrac{x^{3}}{3}\ln x: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)\ln x + \dfrac{x^{3}}{3}\cdot \dfrac{d}{dx}(\ln x) = x^{2}\ln x + \dfrac{x^{2}}{3}.
  • Derivada de -\dfrac{x^{3}}{9}: -\dfrac{3x^{2}}{9} = -\dfrac{x^{2}}{3}.
    Somando:
x^{2}\ln x + \dfrac{x^{2}}{3} - \dfrac{x^{2}}{3} = x^{2}\ln x,
o que confirma que F'(x)=x^{2}\ln x.

Resposta

\boxed{\dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \dfrac{x^{3}}{9} + C}

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