Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações relevantes dadas: a integranda é
. Para que
seja real, assumimos que
. O objetivo é obter uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função
tal que
, e apresentar a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
onde
e
são partes do integrando escolhidas por nós. Aqui:
-
é uma função que vamos diferenciar para obter , -
é a parte que vamos integrar para obter .
A ideia é escolherde modo que seja mais simples que , e escolher que seja fácil de integrar.
Passo 3
Escolha das partes (explicação amigável): para produtos com
costuma-se escolher
porque sua derivada é simples (
), e deixar o polinômio como
. Então escolho
Agora calculo
e
:
- Diferenciando
: - Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o integrando na segunda parcela:
logo
Passo 5
Calculo a integral restante
:
Substituindo de volta:
Multiplicando os coeficientes:
portanto
Passo 6
Verificação rápida (derivando o resultado para conferir que volta à integranda): seja
Derivando termo a termo (usando regra do produto no primeiro termo):
- Derivada de
: - Derivada de
:
Somando:
o que confirma que
.