Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: integrando e queremos uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada é o integrando), mais constante de integração
.
Informações dadas: integrando
Passo 2
Apresentando a ferramenta: integração por partes. Vou deduzir a fórmula de forma breve e intuitiva. Começamos da regra do produto para derivadas:
Integrando ambos os lados em
obtemos
O lado esquerdo é simplesmente
. Reorganizando:
onde escrevemos
e
. Essa é a fórmula de integração por partes. Aqui:
-
é uma função escolhida (vai virar ao derivarmos), -
é o resto do integrando (vai ser integrado para obter ).
Passo 3
Como escolher
e
(dica prática): quando há um produto envolvendo um polinômio e uma exponencial/trigonométrica/logaritmo, normalmente escolhemos
o polinômio (que simplifica ao derivar) e
a parte exponencial/trigonométrica (que é fácil de integrar). Aqui escolhemos:
Eu escolhi assim porque derivar
simplifica para
, e integrar
é direto.
Passo 4
Calcular
e
. Derivando
:
Integrando
:
porque a derivada de
é
vezes
e o sinal compensa; confirme:
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplificando o sinal e calculando a integral restante:
Agora
(mesma integração feita antes), então
Passo 7
Fatorando para deixar mais bonito e prático:
Essa é a forma compacta da primitiva encontrada.
Passo 8
Verificação (sempre bom checar na prova): derivamos
para ver se dá
. Usando a regra do produto:
Confere perfeitamente com o integrando.