Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x e^{-x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int x e^{-x}\,dx.
Informações dadas: integrando \;x e^{-x}\; e queremos uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada é o integrando), mais constante de integração C.

Passo 2

Apresentando a ferramenta: integração por partes. Vou deduzir a fórmula de forma breve e intuitiva. Começamos da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x obtemos
\int \frac{d}{dx}\big(u v\big)\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
O lado esquerdo é simplesmente u v. Reorganizando:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escrevemos du=u'\,dx e dv=v'\,dx. Essa é a fórmula de integração por partes. Aqui:
  • u é uma função escolhida (vai virar du ao derivarmos),
  • dv é o resto do integrando (vai ser integrado para obter v).

Passo 3

Como escolher u e dv (dica prática): quando há um produto envolvendo um polinômio e uma exponencial/trigonométrica/logaritmo, normalmente escolhemos u o polinômio (que simplifica ao derivar) e dv a parte exponencial/trigonométrica (que é fácil de integrar). Aqui escolhemos:
u=x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Eu escolhi assim porque derivar x simplifica para 1, e integrar e^{-x} é direto.

Passo 4

Calcular du e v. Derivando u:
du = dx.
Integrando dv:
v=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x},
porque a derivada de -e^{-x} é e^{-x} vezes (-1) e o sinal compensa; confirme: \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = -(-e^{-x}) = e^{-x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{-x}\,dx = x\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot dx.

Passo 6

Simplificando o sinal e calculando a integral restante:
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Agora \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} (mesma integração feita antes), então
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.

Passo 7

Fatorando para deixar mais bonito e prático:
\int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C.
Essa é a forma compacta da primitiva encontrada.

Passo 8

Verificação (sempre bom checar na prova): derivamos -(x+1)e^{-x} para ver se dá x e^{-x}. Usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(-(x+1)e^{-x}\big)=-(1\cdot e^{-x} + (x+1)\cdot(-e^{-x})) = -e^{-x} + (x+1)e^{-x} = x e^{-x}.
Confere perfeitamente com o integrando.

Resposta

-(x+1)e^{-x}+C

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