Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x e^{x / 2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{x/2}. Em outras palavras, avaliar a integral indefinida
\int x e^{x/2}\,dx.
Informações dadas: o integrando é x e^{x/2}; a variável de integração é x; a resposta deve conter a constante arbitrária de integração, que chamamos de C.

Passo 2

Apresentação e explicação da técnica que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Essa fórmula vem da regra do produto para derivação. Lembre-se da regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x e rearranjando, obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função de x,
  • dv é outra parte do integrando escrita como diferencial (algo multiplicado por dx),
  • du é a derivada de u em relação a x multiplicada por dx (ou seja, du = u'(x)\,dx),
  • v é uma primitiva de dv (ou seja, v' = dv/dx).
    A ideia prática: escolhemos u para que du seja mais simples, e escolhemos dv para que possamos integrar facilmente e obter v.

Passo 3

Escolha de u e dv. Para integrais que envolvem um polinômio multiplicando uma exponencial, é comum escolher o polinômio como u (porque derivando o polinômio ficamos com algo mais simples) e o resto como dv. Então escolhemos:
u = x,\qquad dv = e^{x/2}\,dx.
Justificativa: derivar x 1, simplificando du; integrar e^{x/2} é fácil porque é uma exponencial com constante na potência.

Passo 4

Calcular du e v. Derivando u:
du = \frac{d}{dx}(x)\,dx = 1\cdot dx = dx.
Agora precisamos de v, que é uma primitiva de dv:
v = \int e^{x/2}\,dx.
Para integrar e^{x/2}, usamos a regra \int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x} (porque ao derivar \frac{1}{a}e^{ax} volta e^{ax}). Aqui a=\tfrac{1}{2}, então
v = \frac{1}{1/2} e^{x/2} = 2 e^{x/2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{x/2}\,dx = x\cdot\bigl(2 e^{x/2}\bigr) - \int \bigl(2 e^{x/2}\bigr)\,dx.
Escrevendo:
\int x e^{x/2}\,dx = 2x e^{x/2} - 2\int e^{x/2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante e simplificar. Já sabemos de antes que
\int e^{x/2}\,dx = 2 e^{x/2}.
Então
\int x e^{x/2}\,dx = 2x e^{x/2} - 2\cdot\bigl(2 e^{x/2}\bigr) + C.
Portanto
\int x e^{x/2}\,dx = 2x e^{x/2} - 4 e^{x/2} + C.
Podemos fatorar 2 e^{x/2} se quisermos uma forma mais compacta:
\int x e^{x/2}\,dx = 2 e^{x/2}\bigl(x - 2\bigr) + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confirmação didática): derivando F(x)=2 e^{x/2}(x-2),
F'(x)=2\cdot e^{x/2}\cdot 1 + 2(x-2)\cdot\frac{1}{2}e^{x/2} = 2e^{x/2} + (x-2)e^{x/2} = x e^{x/2},
o que coincide com o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

2x e^{x/2} - 4 e^{x/2} + C
ou equivalentemente
2 e^{x/2}\bigl(x-2\bigr) + C.

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