Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja encontrar uma função
tal que
. Em outras palavras, avaliar a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é
; a variável de integração é
; a resposta deve conter a constante arbitrária de integração, que chamamos de
.
Passo 2
Apresentação e explicação da técnica que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Essa fórmula vem da regra do produto para derivação. Lembre-se da regra do produto:
Integrando ambos os lados em relação a
e rearranjando, obtemos a fórmula de integração por partes:
Aqui:
-
é uma função de , -
é outra parte do integrando escrita como diferencial (algo multiplicado por ), -
é a derivada de em relação a multiplicada por (ou seja, ), -
é uma primitiva de (ou seja, ).
A ideia prática: escolhemospara que seja mais simples, e escolhemos para que possamos integrar facilmente e obter .
Passo 3
Escolha de
e
. Para integrais que envolvem um polinômio multiplicando uma exponencial, é comum escolher o polinômio como
(porque derivando o polinômio ficamos com algo mais simples) e o resto como
. Então escolhemos:
Justificativa: derivar
dá
, simplificando
; integrar
é fácil porque é uma exponencial com constante na potência.
Passo 4
Calcular
e
. Derivando
:
Agora precisamos de
, que é uma primitiva de
:
Para integrar
, usamos a regra
(porque ao derivar
volta
). Aqui
, então
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Escrevendo:
Passo 6
Calcular a integral restante e simplificar. Já sabemos de antes que
Então
Portanto
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confirmação didática): derivando
,
o que coincide com o integrando. Então a primitiva está correta.
Resposta
ou equivalentemente