Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
é a função a ser integrada; ela é produto de um polinômio em
e da exponencial
. É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva), então o resultado terá uma constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para separar termos. Podemos escrever
Isto facilita porque a primeira integral é direta e a segunda é um caso clássico para aplicar integração por partes.
Passo 3
Calcular a primeira integral simples. Lembrando que a derivada de
é
, a primitiva de
é novamente
. Assim,
(escrevo a constante de integração só no final).
Passo 4
Agora vamos explicar e usar a fórmula de integração por partes. A integração por partes vem da regra do produto da diferenciação:
Integrando ambos os lados em relação a
temos
o que dá
Reorganizando e escrevendo
e
, obtemos a fórmula padrão
Aqui
é a função que escolhemos para ser diferenciada (gera
) e
é a parte que integramos para obter
. Boa regra prática: escolha
de modo que sua derivada seja mais simples (por exemplo polinômios).
Passo 5
Aplicar integração por partes em
. Fazemos a escolha natural:
Então
Expliquei: escolhi
porque a sua derivada é
, simplificando a integral restante.
Passo 6
Usando a fórmula
obtemos
Já sabemos a integral restante, então
Passo 7
Voltar à expressão original, lembrando da separação do Passo 2:
Substituindo os resultados do Passo 3 e do Passo 6:
Agora simplificamos passo a passo:
Factorizando
fica mais elegante:
Não esquecer a constante de integração: o resultado geral é
.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivamos a resposta para checar. Usando a regra do produto,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.