Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int(1-x) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(1-x)e^{x}\,dx
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\, (1-x)e^{x}\, é a função a ser integrada; ela é produto de um polinômio em x e da exponencial e^{x}. É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva), então o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a linearidade da integral para separar termos. Podemos escrever
\int(1-x)e^{x}\,dx=\int e^{x}\,dx-\int x e^{x}\,dx
Isto facilita porque a primeira integral é direta e a segunda é um caso clássico para aplicar integração por partes.

Passo 3

Calcular a primeira integral simples. Lembrando que a derivada de e^{x} é e^{x}, a primitiva de e^{x} é novamente e^{x}. Assim,
\int e^{x}\,dx=e^{x}
(escrevo a constante de integração só no final).

Passo 4

Agora vamos explicar e usar a fórmula de integração por partes. A integração por partes vem da regra do produto da diferenciação:
(u v)'=u'v+uv'
Integrando ambos os lados em relação a x temos
\int (u v)'\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx
o que dá
u v=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
Reorganizando e escrevendo du=u'\,dx e dv=v'\,dx, obtemos a fórmula padrão
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
Aqui u é a função que escolhemos para ser diferenciada (gera du) e dv é a parte que integramos para obter v. Boa regra prática: escolha u de modo que sua derivada seja mais simples (por exemplo polinômios).

Passo 5

Aplicar integração por partes em \int x e^{x}\,dx. Fazemos a escolha natural:
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v=\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Expliquei: escolhi u=x porque a sua derivada é 1, simplificando a integral restante.

Passo 6

Usando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du obtemos
\int x e^{x}\,dx = x\cdot e^{x} - \int e^{x}\,dx.
Já sabemos a integral restante, então
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.

Passo 7

Voltar à expressão original, lembrando da separação do Passo 2:
\int(1-x)e^{x}\,dx = \int e^{x}\,dx - \int x e^{x}\,dx.
Substituindo os resultados do Passo 3 e do Passo 6:
\int(1-x)e^{x}\,dx = e^{x} - \bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr).
Agora simplificamos passo a passo:
e^{x} - \bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) = e^{x} - x e^{x} + e^{x} = 2e^{x} - x e^{x}.
Factorizando e^{x} fica mais elegante:
2e^{x} - x e^{x} = (2-x)e^{x}.
Não esquecer a constante de integração: o resultado geral é (2-x)e^{x}+C.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivamos a resposta para checar. Usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl((2-x)e^{x}\bigr) = (2-x)\cdot e^{x} + (-1)\cdot e^{x} = (2-x-1)e^{x}=(1-x)e^{x},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

(2-x)e^{x}+C

Exercícios relacionados