Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é o produto de um polinômio
e a função exponencial
. Não há limites (é uma primitiva indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da integração por partes. A fórmula é
onde:
-
é uma função que escolhemos e é sua diferencial (ou derivada vezes ); -
é a outra parte do integrando e é uma primitiva de (ou seja, ).
A ideia prática: escolhemos
de modo que
seja mais simples que
(por exemplo, polinômios são bons para escolher como
), e escolhemos
que seja fácil de integrar para obter
.
Passo 3
Escolha de
e
. Tomamos
Motivo:
é um polinômio e sua derivada simplifica (é constante), e
é fácil de integrar.
Passo 4
Calculemos
e
.
Derivando :
Derivando
Integrando
para obter
:
pois a derivada de
é
.
Passo 5
Aplique a fórmula da integração por partes substituindo
,
e
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplifique os sinais dentro da expressão:
e
Logo
Passo 7
Calcule a integral restante
. Como constante pode sair da integral:
Substituindo de volta:
Isso dá
Passo 8
Simplifique o fator comum
:
Calcule a soma dentro do parêntese:
Portanto
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando o resultado obtemos o integrando?
Usando a regra do produto para :
Usando a regra do produto para
que é exatamente o integrando. Tudo conferido.