Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int(3-2 x) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (3-2x)e^{-x}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de um polinômio 3-2x e a função exponencial e^{-x}. Não há limites (é uma primitiva indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função que escolhemos e du é sua diferencial (ou derivada vezes dx);
  • dv é a outra parte do integrando e v é uma primitiva de dv (ou seja, v=\int dv).
A ideia prática: escolhemos u de modo que du seja mais simples que u (por exemplo, polinômios são bons para escolher como u), e escolhemos dv que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Escolha de u e dv. Tomamos
u = 3-2x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Motivo: u é um polinômio e sua derivada simplifica (é constante), e dv=e^{-x}\,dx é fácil de integrar.

Passo 4

Calculemos du e v.
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}(3-2x)\,dx = -2\,dx.
Integrando dv para obter v:
v=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x},
pois a derivada de -e^{-x} é e^{-x}.

Passo 5

Aplique a fórmula da integração por partes substituindo u, v e du:
\int (3-2x)e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo os valores:
\int (3-2x)e^{-x}\,dx = (3-2x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(-2)\,dx.

Passo 6

Simplifique os sinais dentro da expressão:
(3-2x)(-e^{-x}) = -(3-2x)e^{-x},
e
\int (-e^{-x})(-2)\,dx = \int 2 e^{-x}\,dx.
Logo
\int (3-2x)e^{-x}\,dx = -(3-2x)e^{-x} - \int 2 e^{-x}\,dx.

Passo 7

Calcule a integral restante \int 2 e^{-x}\,dx. Como constante pode sair da integral:
\int 2 e^{-x}\,dx = 2\int e^{-x}\,dx = 2(-e^{-x}) = -2 e^{-x}.
Substituindo de volta:
\int (3-2x)e^{-x}\,dx = -(3-2x)e^{-x} - (-2 e^{-x}) + C.
Isso dá
\int (3-2x)e^{-x}\,dx = -(3-2x)e^{-x} + 2 e^{-x} + C.

Passo 8

Simplifique o fator comum e^{-x}:
-(3-2x)e^{-x} + 2 e^{-x} = \bigl(-(3-2x)+2\bigr)e^{-x}.
Calcule a soma dentro do parêntese:
-(3-2x)+2 = -3 + 2x + 2 = 2x -1.
Portanto
\int (3-2x)e^{-x}\,dx = (2x-1)e^{-x} + C.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando o resultado obtemos o integrando?
Usando a regra do produto para (2x-1)e^{-x}:
\frac{d}{dx}\bigl((2x-1)e^{-x}\bigr) = 2\cdot e^{-x} + (2x-1)\cdot(-e^{-x}) = (2 - (2x-1))e^{-x} = (3-2x)e^{-x},
que é exatamente o integrando. Tudo conferido.

Resposta

(2x-1)e^{-x}+C

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