Use integração por partes para calcular a integral.
\int_{0}^{\pi / 6} x \operatorname{sen} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/6} x\,\operatorname{sen}(3x)\,dx
usando o método de integração por partes. O conteúdo que vamos usar é a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos em \int_{0}^{\pi/6} x\,\operatorname{sen}(3x)\,dx:
u = x \quad\Longrightarrow\quad du = dx,
dv = \operatorname{sen}(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad v = \int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int_{0}^{\pi/6} x\,\operatorname{sen}(3x)\,dx = \Bigl[u\,v\Bigr]_{0}^{\pi/6} - \int_{0}^{\pi/6} v\,du = \left[-\frac{x}{3}\cos(3x)\right]_{0}^{\pi/6} + \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/6}\cos(3x)\,dx.
O termo de fronteira é
\left[-\frac{x}{3}\cos(3x)\right]_{0}^{\pi/6} = -\frac{\pi/6}{3}\cos\bigl(3\cdot \pi/6\bigr) - \bigl(0\bigr) = -\frac{\pi}{18}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0.

Passo 4

Fica então
\int_{0}^{\pi/6} x\,\operatorname{sen}(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/6}\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\Bigl[\operatorname{sen}(3x)\Bigr]_{0}^{\pi/6} = \frac{1}{9}\bigl(\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})-\operatorname{sen}(0)\bigr) = \frac{1}{9}\cdot1 = \frac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}

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