Use a integração por partes para provar que: ( 2,0 pontos)
Use o resultado do item anterior para calcular integral x^4 e^x d x.

Passo 1

O objetivo é calcular
integral x^4e^x,dx
usando integração por partes e aproveitar o resultado geral para
In=integral x^ne^x,dx
que já vimos no item anterior.

Passo 2

Defina
In=integral x^ne^x,dx.
Aplique integração por partes com
u=x^n (logo du=n,x^n-1dx) e
dv=e^xdx (logo v=e^x).
Fica:
In = x^ne^x - integral e^x,n,x^n-1dx = x^ne^x - n,In-1

Passo 3

Agora use a relação de recorrência para ir de n=4 até n=1:
I4 = x^4e^x - 4,I3, I3 = x^3e^x - 3,I2, I2 = x^2e^x - 2,I1, I1 = x,e^x - I0

Passo 4

Sabemos que
I0 = integral e^xdx = e^x + C
Substituindo em cascata, obtemos
I1 = e^x(x-1)+C, I2 = e^x(x^2-2x+2)+C,
I3 = e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C, I4 = e^x(x^4-4x^3+12x^2-24x+24)+C

Resposta

boxedintegral x^4e^x,dx = e^xl(x^4-4x^3+12x^2-24x+24r) + C

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