Verifique se o limite existe:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente precisa verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar algumas ideias de cálculo multivariável, basicamente analisando o comportamento da função ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns caminhos diferentes para aproximar o ponto
e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Um jeito comum é escolher linhas retas, como
, onde
é uma constante que representa a inclinação da linha.
Passo 3
Vamos substituir
na função e calcular o limite quando
tende a 0:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão:
Observamos que
cancela, e o resultado depende de
.
Passo 5
Isso significa que o limite depende do valor de
, ou seja, do caminho que estamos escolhendo para chegar em
. Vamos ver alguns exemplos:
- Se
(caminho ao longo do eixo ):
- Se
(caminho onde ):
Passo 6
Já vimos que para
o limite é 0, e para
o limite é 2. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque os resultados dependem do caminho escolhido para
se aproximar de
.