Verifique se o limite existe:
lim (x, y) (0,0) 10 x y2 x^2+3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente precisa verificar se o limite da função 10xy2x^2 + 3y^2 existe quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para resolver isso, vamos usar algumas ideias de cálculo multivariável, basicamente analisando o comportamento da função ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns caminhos diferentes para aproximar o ponto (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Um jeito comum é escolher linhas retas, como y = kx, onde k é uma constante que representa a inclinação da linha.

Passo 3

Vamos substituir y = kx na função e calcular o limite quando x tende a 0:
limx to 0 10x(kx)2x^2 + 3(kx)^2 = limx to 0 10k x^22x^2 + 3k^2x^2

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão:
10k x^22x^2 + 3k^2x^2 = 10k2 + 3k^2
Observamos que x^2 cancela, e o resultado depende de k.

Passo 5

Isso significa que o limite depende do valor de k, ou seja, do caminho que estamos escolhendo para chegar em (0,0). Vamos ver alguns exemplos:
  • Se k = 0 (caminho ao longo do eixo x):
lim = 10 cdot 02 + 3 cdot 0^2 = 0
  • Se k = 1 (caminho onde y = x):
lim = 10 cdot 12 + 3 cdot 1^2 = 105 = 2

Passo 6

Já vimos que para k = 0 o limite é 0, e para k = 1 o limite é 2. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os resultados dependem do caminho escolhido para (x, y) se aproximar de (0,0).

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