Use integração por partes para resolver as integrais
integral sin x ln cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin x,ln(cos x),dx usando integração por partes. O conteúdo aqui é a fórmula de integração por partes, que exige escolher funções u e dv de modo conveniente.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos escolher:
u = ln(cos x)
dv = sin x,dx

Passo 3

Agora calculamos du e v:
Derivando u:
du = ddx[ln(cos x)],dx = -tan x,dx = -sin xcos x,dx
Integrando dv:
v = integral sin x,dx = -cos x

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral sin x,ln(cos x),dx = u,v - integral v,du
Substituindo u, v, du:
= ln(cos x),(-cos x) - integral l(-cos xr)l(-sin xcos xr)dx
Simplificando o integrando:
(-cos x)(-sin xcos x) = sin x

Passo 5

Logo a integral torna-se:
-cos x,ln(cos x) - integral sin x,dx
E como integral sin x,dx = -cos x, temos:
-cos x,ln(cos x) - (-cos x) = -cos x,ln(cos x) + cos x

Resposta

-cos xln(cos x) + cos x + C

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