Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integral1-2 i^pi i cos z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral1-2i^pi icos z,dz usando o Teorema 5.4.2, isto é, aproveitando que cos z é inteira e tem antiderivada em C. Vamos usar o fato de que a integral independe do caminho e basta avaliar uma primitiva.

Passo 2

A antiderivada de cos z é sin z. Pelo teorema da integral de função holomorfa, temos
integral1-2i^pi icos z,dz ,=, sin z|z=1-2i^z=pi i ,=, sin(pi i) - sin(1-2i)

Passo 3

Para calcular sin(pi i), usamos a identidade
sin(i y)=isinh(y)
Com y=pi, fica
sin(pi i)=isinh(pi)

Passo 4

Para sin(1-2i), aplicamos a fórmula geral
sin(a+ib)=sin(a)cosh(b)+icos(a)sinh(b)
Aqui a=1 e b=-2. Como cosh(-2)=cosh(2) e sinh(-2)=-sinh(2), resulta
sin(1-2i)=sin(1)cosh(2)-icos(1)sinh(2)

Passo 5

Agora subtraímos:
sin(pi i)-sin(1-2i) = isinh(pi)-l[sin(1)cosh(2)-icos(1)sinh(2)r] = -sin(1)cosh(2)+il[sinh(pi)+cos(1)sinh(2)r]

Passo 6

Portanto a integral vale a expressão acima.

Passo 7

Resposta

-\sin(1)\cosh(2) + i\bigl[\sinh(\pi) + \cos(1)\sinh(2)\bigr]

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