Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Escreva as respostas na forma .
Passo 1
O enunciado pede para calcular usando o Teorema 5.4.2, isto é, aproveitando que é inteira e tem antiderivada em . Vamos usar o fato de que a integral independe do caminho e basta avaliar uma primitiva.
Passo 2
A antiderivada de é . Pelo teorema da integral de função holomorfa, temos
Passo 3
Para calcular sin(pi i), usamos a identidade
sin(i y)=isinh(y)
Com y=pi, fica
sin(pi i)=isinh(pi)
Passo 4
Para sin(1-2i), aplicamos a fórmula geral
sin(a+ib)=sin(a)cosh(b)+icos(a)sinh(b)
Aqui a=1 e b=-2. Como cosh(-2)=cosh(2) e sinh(-2)=-sinh(2), resulta