Use integrais duplas para calcular a área de um laço de r=2 a cos 2 theta.

Passo 1

O enunciado pede a área de um laço da curva polar
r = 2acos(2theta)
Usaremos integrais duplas em coordenadas polares, cuja fórmula geral para a área de uma região D é
Área(D)=integral duplaDdA =integraltheta1^theta2integral0^r(theta)r,dr,dtheta Á
Para aplicá-la, precisamos identificar o intervalo de theta em que r(theta)>=0 define um único laço.

Passo 2

Determinamos onde r>=0, ou seja
2acos(2theta)>=0 Longrightarrow cos(2theta)>=0
Isso ocorre para
-,pi2<=2theta<=pi2 Longrightarrow -,pi4<=theta<=pi4
Esse é o intervalo de um laço.

Passo 3

Montamos a integral de área sobre o laço:
Área = integral-pi/4^pi/4integral0^2acos(2theta)r,dr,dtheta Á

Passo 4

Calculamos a integral interna em r:
integral0^2acos(2theta)r,dr =r^22|0^2acos(2theta) =2a^2cos^2(2theta)
Logo
Área = integral-pi/4^pi/42a^2cos^2(2theta),dtheta Á

Passo 5

Usamos a identidade
cos^2(2theta) =1+cos(4theta)2
para reescrever:
Área =2a^2integral-pi/4^pi/41+cos(4theta)2,dtheta =a^2integral-pi/4^pi/4l(1+cos(4theta)r),dtheta Á

Passo 6

Integramos em theta:
integral-pi/4^pi/41,dtheta =pi2, integral-pi/4^pi/4cos(4theta),dtheta =sin(4theta)4|-pi/4^pi/4 =0
Portanto
Área = a^2cdotpi2 =pi a^22 Á

Resposta

pi a^22

Exercícios relacionados