Use integral dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas y=4-x^2, x <= 0, y-x=2 e x=0.

Passo 1

O exercício pede pra usar integral dupla pra calcular a área da região limitada pela parábola y=4−x², pela reta y−x=2 (com x≤0) e pela reta vertical x=0. Isso cai em cálculo de áreas via integrais duplas, onde a gente precisa parametrizar a região R e integrar a função 1 sobre R.

Passo 2

Pra achar o intervalo de x, a gente encontra a interseção entre a parábola e a reta. Resolve:
4 - x^2 = x + 2
Isso vira x² + x - 2 = 0, cujas raízes são x = 1 e x = -2. Como queremos x ≤ 0, ficamos com x = -2. Então x varia de -2 até 0.

Passo 3

Agora, pra cada x em [-2,0], a fronteira inferior em y é a reta y = x + 2 (pois ela fica abaixo da parábola nesse intervalo) e a fronteira superior é a parábola y = 4 - x^2. Logo: R = { (x,y) : -2 ≤ x ≤ 0, x+2 ≤ y ≤ 4−x² }.

Passo 4

Montamos a integral dupla da área (integrando a função 1):
integral duplaR 1 ,dA = integralx=-2^0 integraly=x+2^4 - x^2 1 ,dy,dx
Primeiro integramos em y, o que dá a diferença dos limites:
integraly=x+2^4 - x^2 1 ,dy = (4 - x^2) - (x + 2) = 2 - x - x^2
Agora integramos em x de -2 até 0:
integral-2^0 (2 - x - x^2) ,dx = l[2x - x^22 - x^33r]-2^0
Calculando os valores: em 0 dá 0; em -2 dá -4 - 2 + 8/3 = -10/3. Subtraindo, a área vale 10/3.

Resposta

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