Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
(c) x^2+z^2=1, y^2+z^2=1 (primeiro octante)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos cilindros ,x^2+z^2=1 e ,y^2+z^2=1. Vamos usar integral dupla em (x,y) e integrar em z para encontrar esse volume.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) do domínio projetado D no plano xy, temos
0 <= z <= minraiz1 - x^2,,raiz1 - y^2
Logo, o volume é
V = integral duplaD minraiz1 - x^2,,raiz1 - y^2,dA

Passo 3

Como estamos no primeiro octante, x e y variam entre 0 e 1. Assim
D = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;0<= y<= 1
e
V = integral0^1!integral0^1 minraiz1 - x^2,,raiz1 - y^2,dy,dx

Passo 4

Para lidar com o “min”, dividimos D em duas partes:
  • D1colon x>= y, onde min,raiz1-x^2,raiz1-y^2=raiz1-x^2.
  • D2colon y>= x, onde min,raiz1-x^2,raiz1-y^2=raiz1-y^2.
Logo
V = integral duplaD1raiz1 - x^2,dA ;+;integral duplaD2raiz1 - y^2,dA

Passo 5

No primeiro pedaço,
integral duplaD1raiz1 - x^2,dA = integralx=0^1!integraly=0^x raiz1 - x^2,dy,dx = integral0^1 l[xraiz1 - x^2r],dx
Fazendo a substituição u=1-x^2, du=-2x,dx, obtemos
integral0^1 xraiz1-x^2,dx = -tfrac12integralu=1^0 u^1/2,du = tfrac12integral0^1 u^1/2,du = tfrac12cdottfrac23 = tfrac13

Passo 6

Pela simetria de x e y, a integral sobre D2 dá também tfrac13. Somando,
V = tfrac13 + tfrac13 = tfrac23

Resposta

tfrac23

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