Use a integrarl tripla para calcular o volume do tetraedro T delimitado pelos planos x+2 y+ z-2=0, x-2 y=0, x=0 e z=0. (Resp. 1/3).

Passo 1

Resumindo, queremos o volume do tetraedro T definido pela interseção dos semi-espaços
,x>=0, ,x-2y<=0, ,z>=0 e ,x+2y+z<=2.
O método é usar integral tripla
V=integral triplaTdV
e montar limites em x,y,z de forma a cobrir exatamente essa região.

Passo 2

Para fixar ideias, olhamos à “base” do tetraedro em z=0. Neste plano a região Dsubset xy é dada por
x>=0, x-2y<=0, x+2y<=2
Isto equivale a
x>=0, y>= tfracx2, y<= tfrac2-x2
Logo, para cada x válido há um intervalo de y.

Passo 3

Precisamos achar o intervalo de x. Como tfracx2<= tfrac2-x2 é condição para existir y, temos
x<= 2-x;Longrightarrow;2x<=2;Longrightarrow;0<= x<=1
Para cada xin[0,1], y varia de
y=tfracx2 até y=tfrac2-x2 é
E em cada (x,y) a altura z vai de 0 até a reta de interseção com o plano x+2y+z=2, ou seja
0<= z<= 2 - x - 2y

Passo 4

O volume é
V=integralx=0^1 integraly=tfracx2^tfrac2-x2 integralz=0^2 - x - 2y dz;dy;dx
Primeiro faça integral0^2-x-2ydz=2-x-2y, depois
integraly=tfracx2^tfrac2-x2(2-x-2y),dy =l[(2-x)y - y^2r]y=tfracx2^tfrac2-x2 =(x-1)^2
Por fim
V=integral0^1(x-1)^2,dx =integral0^1(1-2x+x^2),dx =l[x - x^2 + tfracx^33r]0^1 =1 -1 + tfrac13 =tfrac13

Resposta

tfrac13

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