1. Use o item (c) do Teorema 7.1.1 para mostrar que Le^(a+i b) t=s-a+i b(s-a)^2+b^2, onde a e b são reais e i^2=-1. Discuta como a fórmula de Euler pode então ser usada para deduzir os resultados

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o item (c) do Teorema 7.1.1 (propriedade de deslocamento no eixo s), que
Lle^(a+i b)tr = s - a + i b(s-a)^2 + b^2,
onde a,binR e i^2=-1. Em seguida, devemos discutir como a fórmula de Euler permite obter as transformadas de e^a tcos(bt) e e^a tsin(bt).

Passo 2

O Teorema 7.1.1(c) diz que, se Lf(t) = F(s), então
Lle^a tf(t)r = F(s - a)
Ou seja, multiplicar f(t) por e^a t desloca o argumento de F de s para s-a.

Passo 3

Tomemos f(t)=e^i b t. Pela definição da transformada de Laplace, para Re(s)>0,
Le^i b t = integral0^inftye^-s te^i b t,dt = integral0^inftye^-(s - i b)t,dt = 1s - i b

Passo 4

Aplicando o teorema de deslocamento a f(t)=e^i b t, obtemos
Lle^a te^i b tr = Le^(a+i b)t = 1(s - a) - i b

Passo 5

Basta agora multiplicar numerador e denominador pelo conjugado (s - a)+i b para escrever em forma padrão:
1(s - a) - i b = (s - a) + i bl((s - a) - i br)l((s - a) + i br) = s - a + i b(s-a)^2 + b^2

Passo 6

Para deduzir as transformadas reais, usamos a fórmula de Euler
e^i b t = cos(bt) + i,sin(bt),
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e^(a+i b)t = e^a tl(cos(bt) + i,sin(bt)r)
Pela linearidade de L,
Le^a tcos(bt) = RelLe^(a+i b)tr = s - a(s-a)^2 + b^2,
Le^a tsin(bt) = ImlLe^(a+i b)tr = b(s-a)^2 + b^2

Resposta

Lle^(a+i b)tr = s - a + i b(s-a)^2 + b^2
Usando Euler, obtemos ainda
Le^a tcos(bt) = s - a(s-a)^2 + b^2, Le^a tsin(bt) = b(s-a)^2 + b^2

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