- Use o item (c) do Teorema 7.1.1 para mostrar que
, onde
e
são reais e
. Discuta como a fórmula de Euler pode então ser usada para deduzir os resultados
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o item (c) do Teorema 7.1.1 (propriedade de deslocamento no eixo
), que
onde
e
. Em seguida, devemos discutir como a fórmula de Euler permite obter as transformadas de
e
.
Passo 2
O Teorema 7.1.1(c) diz que, se
, então
Ou seja, multiplicar
por
desloca o argumento de
de
para
.
Passo 3
Tomemos
. Pela definição da transformada de Laplace, para
,
Passo 4
Aplicando o teorema de deslocamento a
, obtemos
Passo 5
Basta agora multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
para escrever em forma padrão:
Passo 6
Para deduzir as transformadas reais, usamos a fórmula de Euler
logo
Pela linearidade de
,
Resposta
Usando Euler, obtemos ainda