Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty 1(n+1)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 1(n+1)^2
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas, em particular p-séries e teste de comparação.

Passo 2

Lembrando do teste da p-série:
sumn=1^infty 1n^p
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso o termo geral é equivalente a
1(n+1)^2 = 1k^2com k=n+1,
portanto trata-se de uma p-série com p=2>1, que converge.

Passo 3

Podemos confirmar por comparação direta: para todo n>=1 vale
0<1(n+1)^2<=1n^2
Como sumn=1^infty1n^2 é convergente, pelo teste da comparação concluímos que
sumn=1^infty1(n+1)^2 também converge.

Resposta

A série converge.

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