Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=llll1x y, & se x neq 0 & e & y neq 0 0, & se x=0 & ou & y=0 ; P0=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= 1xy,&se xneq 0 e yneq 0, 0,&se x=0 ou y=0,
e pede para mostrar que f é diferenciável no conjunto (x,y)mid xneq0,yneq0 usando o Lema Fundamental (ou seja, verificar que as derivadas parciais existem e são contínuas) e depois estudar diferenciabilidade em P0=(0,0).

Passo 2

Para (x,y) com xneq0 e yneq0 temos
f(x,y)=1xy,
que é composição das funções (x,y)mapsto x, (x,y)mapsto y e (u,v)mapsto1/(uv). Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^-1y^-1r) =-,1x^2y, fy(x,y)=-,1xy^2
Como ambas são funções contínuas sempre que xneq0 e yneq0, pelo Lema Fundamental (derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade) concluímos que f é diferenciável em todo ponto com xneq0 e yneq0.

Passo 3

No ponto P0=(0,0) calculamos as derivadas parciais pela definição:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0,
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k =0
Logo o candidato ao diferencial linear em P0 é
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0

Passo 4

Para testar diferenciabilidade em (0,0) precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0) f(x,y)raizx^2+y^2
é zero. Se escolhermos a reta y=xneq0, então
f(x,x)=1xcdot x=1x^2, raizx^2+x^2=raiz2,|x|,
f(x,x)raizx^2+x^2 =1/x^2raiz2,|x| =1raiz2,|x|^3 longrightarrow +infty quando xto0
Esse limite não é zero (nem finito), portanto a definição de diferenciabilidade falha em (0,0).

Resposta

f é diferenciável em todo ponto com xneq0 e yneq0, mas não é diferenciável em P0=(0,0).

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