Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função , no ponto indicado:
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que f é diferenciável no conjunto (x,y)mid xneq0,yneq0 usando o Lema Fundamental (ou seja, verificar que as derivadas parciais existem e são contínuas) e depois estudar diferenciabilidade em P0=(0,0).
Passo 2
Para (x,y) com xneq0 e yneq0 temos
f(x,y)=1xy,
que é composição das funções (x,y)mapsto x, (x,y)mapsto y e (u,v)mapsto1/(uv). Calculamos as derivadas parciais:
Como ambas são funções contínuas sempre que xneq0 e yneq0, pelo Lema Fundamental (derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade) concluímos que f é diferenciável em todo ponto com xneq0 e yneq0.
Passo 3
No ponto P0=(0,0) calculamos as derivadas parciais pela definição:
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0,
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k =0
Logo o candidato ao diferencial linear em P0 é
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0
Passo 4
Para testar diferenciabilidade em (0,0) precisamos ver se