(2.0) - Use o método da bisseção ou das cordas para determinar o máximo da função
abaixo. Considere o intervalo
, adote
e realize
iterações.
Método da Bisseção:
Método das Cordas:
Método de Newton:
Método da Secante:
- “Tudo tem o seu tempo determinado, e há tempo para todo propósito debaixo do céu.” Eclesiastes 3:1
| Método da Bisseção:
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Método das Cordas:
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Método de Newton:
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Método da Secante:
|
- “Tudo tem o seu tempo determinado, e há tempo para todo propósito debaixo do céu.” Eclesiastes 3:1
Passo 1
O enunciado pede para usar o método da bisseção ou das cordas para determinar o máximo da função no intervalo
, com
e realizando exatamente 2 iterações. As informações fornecidas são:
- Função:
- Intervalo:
. - Critério de precisão:
. - Número de iterações a realizar:
. - Opção de métodos: bisseção ou cordas (usar um dos dois). Neste exercício vou aplicar o método das cordas (posição falsa) ao problema transformado em achar a raiz de
, porque o máximo de ocorre onde (ponto crítico) e o intervalo contém troca de sinal de em suas extremidades (verificaremos isso).
Passo 2
Transformar o problema: para achar o máximo de
em
procuramos
tal que
(ponto crítico). Primeiro calculamos a derivada
e avaliamos nos extremos para garantir que existe uma raiz no intervalo.
Cálculo da derivada (relembrando regras básicas: derivada de
é
, derivada de constante é zero, derivada de
é
):
Avaliações nas extremidades:
Como
e
, há pelo menos uma raiz de
em
por continuidade — essa raiz é um candidato a máximo. Assim o método das cordas é aplicável.
Passo 3
Explicação do Método das Cordas (posição falsa) e fórmula usada:
- Objetivo: aproximar a raiz de
em um intervalo onde e têm sinais opostos. - Ideia: aproximar
por uma reta que passa pelos pontos e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - Fórmula (como dada no enunciado):
- Atualização do intervalo: se
então substituir , senão substituir . Repetir.
Aqui
. Vamos aplicar 2 iterações começando com
,
.
Passo 4
Primeira iteração (iteração 0 → obtenção de
):
Dados iniciais:
Aplicando a fórmula das cordas:
Agora avaliamos
. Vamos calcular com passo a passo (para ficar claro como fazer na prova, mesmo sem calculadora completa pode-se estimar frações):
Calculemos potências necessárias:
Então
Colocando em denominar comum
:
Somando:
Observação sobre o sinal:
e
. Como os sinais são iguais, atualizamos o extremo da esquerda:
Passo 5
Segunda iteração (iteração 1 → obtenção de
):
Agora usamos
e
:
Aplicando a fórmula das cordas:
Substituindo
:
Logo
Avaliação do sinal de
(para saber qual extremo substituir, embora já tenhamos feito as 2 iterações exigidas, é útil verificar a consistência):
Aproximações para as potências de :
Aproximações para as potências de
Então
Portanto
, logo a raiz ainda está à direita de
(entre
e
). Mas como o enunciado pede apenas 2 iterações, nossa melhor aproximação da raiz após 2 iterações pelo método das cordas é
.
Passo 6
Interpretação do resultado: a raiz de
encontrada é um ponto crítico. Para verificar que é máximo, podemos checar
.
Cálculo de
:
Observação: para qualquer
,
. Em particular, em
temos
, o que confirma que o ponto crítico é um máximo local (e, no intervalo dado, também o máximo global, já que
muda de positivo para negativo no intervalo).
Como o problema pede o máximo da função, podemos apresentar tanto a abscissa aproximada do máximo quanto o valor de
nesse ponto. Vamos calcular
aproximadamente (mostrar como fazer na prova com etapas claras):
Cálculo de
:
Portanto, após as 2 iterações pedidas usando o método das cordas sobre
, a melhor aproximação do ponto onde
atinge o máximo em
é
e o valor máximo aproximado é
.