(2.0) - Use o método da bisseção ou das cordas para determinar o máximo da função f(x) abaixo. Considere o intervalo [\mathbf{0} ; \mathbf{1}], adote \boldsymbol{\varepsilon}=\mathbf{0 . 0 1} e realize \mathbf{2} iterações.
f(x)=-2 x^{6}-1.5 x^{4}+10 x+2
Método da Bisseção: c_{0}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2} Método das Cordas: z_{0}=\frac{a \cdot f\left(b_{0}\right)-b \cdot f\left(a_{0}\right)}{f\left(b_{0}\right)-f\left(a_{0}\right)} Método de Newton: z_{0}=a-\frac{f(a)}{f^{\prime}(a)} Método da Secante: x_{2}=\frac{x_{0} \cdot f\left(x_{1}\right)-x_{1} \cdot f\left(x_{0}\right)}{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}

  1. “Tudo tem o seu tempo determinado, e há tempo para todo propósito debaixo do céu.” Eclesiastes 3:1

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção ou das cordas para determinar o máximo da função no intervalo [0;1], com \varepsilon=0,01 e realizando exatamente 2 iterações. As informações fornecidas são:
  • Função:
f(x)=-2x^{6}-1{,}5x^{4}+10x+2
  • Intervalo: [a_{0},b_{0}]=[0,1].
  • Critério de precisão: \varepsilon=0{,}01.
  • Número de iterações a realizar: 2.
  • Opção de métodos: bisseção ou cordas (usar um dos dois). Neste exercício vou aplicar o método das cordas (posição falsa) ao problema transformado em achar a raiz de f'(x), porque o máximo de f ocorre onde f'(x)=0 (ponto crítico) e o intervalo contém troca de sinal de f' em suas extremidades (verificaremos isso).

Passo 2

Transformar o problema: para achar o máximo de f em [0,1] procuramos x tal que f'(x)=0 (ponto crítico). Primeiro calculamos a derivada f'(x) e avaliamos nos extremos para garantir que existe uma raiz no intervalo.
Cálculo da derivada (relembrando regras básicas: derivada de x^{n} é n x^{n-1}, derivada de constante é zero, derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x)):
f(x)=-2x^{6}-1{,}5x^{4}+10x+2
\Rightarrow f'(x) = -12x^{5}-6x^{3}+10.
Avaliações nas extremidades:
f'(0) = -12\cdot0^{5}-6\cdot0^{3}+10 = 10 > 0,
f'(1) = -12\cdot1^{5}-6\cdot1^{3}+10 = -12-6+10 = -8 < 0.
Como f'(0)>0 e f'(1)<0, há pelo menos uma raiz de f' em [0,1] por continuidade — essa raiz é um candidato a máximo. Assim o método das cordas é aplicável.

Passo 3

Explicação do Método das Cordas (posição falsa) e fórmula usada:
  • Objetivo: aproximar a raiz de g(x)=f'(x) em um intervalo [a,b] onde g(a) e g(b) têm sinais opostos.
  • Ideia: aproximar g por uma reta que passa pelos pontos (a,g(a)) e (b,g(b)) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação z.
  • Fórmula (como dada no enunciado):
z=\frac{a\cdot g(b)-b\cdot g(a)}{g(b)-g(a)}.
  • Atualização do intervalo: se g(a)\cdot g(z)>0 então substituir a\leftarrow z, senão substituir b\leftarrow z. Repetir.
Aqui g(x)=f'(x)=-12x^{5}-6x^{3}+10. Vamos aplicar 2 iterações começando com a_{0}=0, b_{0}=1.

Passo 4

Primeira iteração (iteração 0 → obtenção de z_{0}):
Dados iniciais:
a_{0}=0,\qquad b_{0}=1,
g(a_{0})=f'(0)=10,\qquad g(b_{0})=f'(1)=-8.
Aplicando a fórmula das cordas:
z_{0}=\frac{a_{0}\cdot g(b_{0})-b_{0}\cdot g(a_{0})}{g(b_{0})-g(a_{0})} =\frac{0\cdot(-8)-1\cdot10}{-8-10} =\frac{-10}{-18}=\frac{5}{9}\approx 0{,}555555\ldots
Agora avaliamos g(z_{0})=f'(5/9). Vamos calcular com passo a passo (para ficar claro como fazer na prova, mesmo sem calculadora completa pode-se estimar frações):
Calculemos potências necessárias:
\left(\frac{5}{9}\right)^{3}=\frac{125}{729},\qquad \left(\frac{5}{9}\right)^{5}=\frac{3125}{59049}.
Então
g\!\left(\frac{5}{9}\right) = -12\cdot\frac{3125}{59049} -6\cdot\frac{125}{729}+10.
Colocando em denominar comum 59049:
-12\cdot\frac{3125}{59049}=-\frac{37500}{59049},
-6\cdot\frac{125}{729}=-\frac{750}{729}=-\frac{60750}{59049},
10=\frac{590490}{59049}.
Somando:
g\!\left(\frac{5}{9}\right)=\frac{590490-37500-60750}{59049}=\frac{492240}{59049}\approx 8{,}33598.
Observação sobre o sinal: g(a_{0})=10>0 e g(z_{0})\approx8{,}336>0. Como os sinais são iguais, atualizamos o extremo da esquerda:
a_{1}=z_{0}=\frac{5}{9}\approx0{,}55556,\qquad b_{1}=b_{0}=1.

Passo 5

Segunda iteração (iteração 1 → obtenção de z_{1}):
Agora usamos a_{1} e b_{1}:
a_{1}\approx0{,}5555556,\qquad b_{1}=1,
g(a_{1})\approx 8{,}33598,\qquad g(b_{1})=-8.
Aplicando a fórmula das cordas:
z_{1}=\frac{a_{1}\cdot g(b_{1})-b_{1}\cdot g(a_{1})}{g(b_{1})-g(a_{1})} =\frac{a_{1}(-8)-1\cdot(8{,}33598)}{-8-8{,}33598}.
Substituindo a_{1}=\tfrac{5}{9}\approx0{,}5555556:
\text{numerador}\approx -8\cdot0{,}5555556 - 8{,}33598 \approx -4{,}4444448 - 8{,}33598 = -12{,}7804248,
\text{denominador}\approx -16{,}33598.
Logo
z_{1}\approx\frac{-12{,}7804248}{-16{,}33598}\approx 0{,}78254.
Avaliação do sinal de g(z_{1}) (para saber qual extremo substituir, embora já tenhamos feito as 2 iterações exigidas, é útil verificar a consistência):
Aproximações para as potências de x=0{,}78254:
x^{2}\approx 0{,}61237,\qquad x^{3}\approx 0{,}47920,\qquad x^{5}\approx 0{,}29310.
Então
g(0{,}78254)\approx -12\cdot0{,}29310 -6\cdot0{,}47920 +10 \approx -3{,}5172 -2{,}8752 +10 \approx 3{,}6076 >0.
Portanto g(z_{1})>0, logo a raiz ainda está à direita de z_{1} (entre z_{1} e b_{1}). Mas como o enunciado pede apenas 2 iterações, nossa melhor aproximação da raiz após 2 iterações pelo método das cordas é z_{1}\approx0{,}78254.

Passo 6

Interpretação do resultado: a raiz de f'(x) encontrada é um ponto crítico. Para verificar que é máximo, podemos checar f''(x).
Cálculo de f''(x):
f'(x)=-12x^{5}-6x^{3}+10 \quad\Rightarrow\quad f''(x)=-60x^{4}-18x^{2}.
Observação: para qualquer x\neq0, -60x^{4}-18x^{2}<0. Em particular, em x\approx0{,}78254 temos f''(x)<0, o que confirma que o ponto crítico é um máximo local (e, no intervalo dado, também o máximo global, já que f' muda de positivo para negativo no intervalo).
Como o problema pede o máximo da função, podemos apresentar tanto a abscissa aproximada do máximo quanto o valor de f nesse ponto. Vamos calcular f(z_{1}) aproximadamente (mostrar como fazer na prova com etapas claras):
Cálculo de f(0{,}78254):
x=0{,}78254,\quad x^{2}\approx0{,}61237,\quad x^{4}\approx0{,}37499,\quad x^{6}\approx0{,}22966.
f(x)\approx -2\cdot0{,}22966 -1{,}5\cdot0{,}37499 +10\cdot0{,}78254 +2
\approx -0{,}45932 -0{,}56249 +7{,}8254 +2
\approx 8{,}8036\\ \text{(aproximadamente)}.
Portanto, após as 2 iterações pedidas usando o método das cordas sobre f'(x), a melhor aproximação do ponto onde f atinge o máximo em [0,1] é x\approx0{,}78254 e o valor máximo aproximado é f(x)\approx8{,}8036.

Resposta

x_{\text{máx}}\approx 0{,}78254á
f(x_{\text{máx}})\approx 8{,}8036á

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