Use o método da, bissecção, posição falsa e o método do ponto fixo para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor ou igual a 10^{-2}.
Observação: Depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela com cada método e com o resultado de cada iteração dos três métodos, onde para cada função você deve usar os critérios de parada \left|f\left(x_{i}\right)\right|<10^{-2} e \left|x_{i+1}-x_{i}\right|<10^{-2}, observando a convergência e em qual critério de parada a convergência ocorre de maneira mais rápida.
f(x)=e^{-x^{2}}-\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva de
f(x)=e^{-x^2}-\cos(x)
usando os métodos da bissecção, da posição falsa e do ponto-fixo, com critério de parada
\bigl|f(x_i)\bigr|<10^{-2} e \bigl|x_{i+1}-x_i\bigr|<10^{-2}. Vamos aplicar cada método, calcular iterações e depois montar uma tabela comparando iterações, valores de f(x_i) e dos incrementos.

Passo 2

Antes de tudo encontramos um intervalo inicial onde f muda de sinal.
f(1)=e^{-1}-\cos(1)\approx0{,}3679-0{,}5403=-0{,}1724,\quad f(2)=e^{-4}-\cos(2)\approx0{,}0183-(-0{,}4161)=0{,}4344.
Logo, adotamos [a,b]=[1,2].

Passo 3

Método da bissecção: em cada iteração x_i=(a+b)/2.
  1. x_1=1{,}5, f(x_1)=0{,}0347 ⇒ muda sinal em [1,1{,}5].
  2. x_2=1{,}25, f(x_2)=-0{,}1057 [1{,}25,1{,}5].
  3. x_3=1{,}375, f(x_3)=-0{,}0422 [1{,}375,1{,}5].
  4. x_4=1{,}4375, f(x_4)=-0{,}0155 [1{,}4375,1{,}5].
  5. x_5=1{,}46875, f(x_5)=0{,}0077.
    Aqui \bigl|f(x_5)\bigr|<10^{-2}, então paramos na iteração 5.

Passo 4

Método da posição falsa: a cada iteração
x_i=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  1. x_1\approx1{,}2845, f(x_1)=-0{,}0910 [1{,}2845,2].
  2. x_2\approx1{,}4078, f(x_2)=-0{,}0232 [1{,}4078,2].
  3. x_3\approx1{,}4376, f(x_3)=-0{,}0155 [1{,}4376,2].
  4. x_4\approx1{,}4576, f(x_4)=0{,}0055.
    Aqui \bigl|f(x_4)\bigr|<10^{-2}, então paramos na iteração 4.

Passo 5

Método do ponto-fixo: a equação e^{-x^2}=\cos x pode ser reescrita como
x=\operatorname{arccos}\bigl(e^{-x^2}\bigr),
definindo g(x)=\operatorname{arccos}(e^{-x^2}). Com chute inicial x_0=1{,}4:
  1. x_1=g(x_0)\approx1{,}4280, f(x_1)\approx-0{,}0124.
  2. x_2=g(x_1)\approx1{,}4403, f(x_2)\approx-0{,}0041.
  3. x_3=g(x_2)\approx1{,}4436, f(x_3)\approx0{,}0024.
    Verificamos \bigl|f(x_2)\bigr|<10^{-2} já em 2 iterações e \bigl|x_3-x_2\bigr|\approx0{,}0033<10^{-2} em 3 iterações.

Passo 6

Tabelas de iterações (valores arredondados):
Bissecção
i x_i f(x_i) (\bigl x_i-x_{i-1}\bigr )
1 1,5000 0,0347
2 1,2500 -0,1057 0,2500
3 1,3750 -0,0422 0,1250
4 1,4375 -0,0155 0,0625
5 1,46875 0,0077 0,03125
Posição falsa
i x_i f(x_i) (\bigl x_i-x_{i-1}\bigr )
1 1,2845 -0,0910
2 1,4078 -0,0232 0,1233
3 1,4376 -0,0155 0,0298
4 1,4576 0,0055 0,0200
Ponto-fixo
i x_i f(x_i) (\bigl x_i-x_{i-1}\bigr )
1 1,4280 -0,0124 0,0280
2 1,4403 -0,0041 0,0123
3 1,4436 0,0024 0,0033

Passo 7

Analisando os critérios:
  • Critério \bigl|f(x_i)\bigr|<10^{-2}: bissecção em 5 iterações, posição falsa em 4, ponto-fixo em 2.
  • Critério \bigl|x_{i}-x_{i-1}\bigr|<10^{-2}: só o ponto-fixo satisfaz (3 iterações).
O método do ponto-fixo convergiu mais rápido em ambos os critérios.

Resposta

Bissecção: x\approx1,46875 (5 iterações)
Posição falsa: x\approx1,4576 (4 iterações)
Ponto-fixo: x\approx1,4436 (3 iterações)
O método do ponto-fixo é o que converge mais rapidamente.

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