Use o método da, bissecção, posição falsa e o método do ponto fixo para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor ou igual a 10^{-2}.
Observação: Depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela com cada método e com o resultado de cada iteração dos três métodos, onde para cada função você deve usar os critérios de parada \left|f\left(x_{i}\right)\right|<10^{-2} e \left|x_{i+1}-x_{i}\right|<10^{-2}, observando a convergência e em qual critério de parada a convergência ocorre de maneira mais rápida. f(x)=e^{-x^{2}}-\cos (x)
Passo 1
O enunciado pede a raiz positiva de
f(x)=e^{-x^2}-\cos(x)
usando os métodos da bissecção, da posição falsa e do ponto-fixo, com critério de parada \bigl|f(x_i)\bigr|<10^{-2} e \bigl|x_{i+1}-x_i\bigr|<10^{-2}. Vamos aplicar cada método, calcular iterações e depois montar uma tabela comparando iterações, valores de f(x_i) e dos incrementos.
Passo 2
Antes de tudo encontramos um intervalo inicial onde f muda de sinal.
x_3=g(x_2)\approx1{,}4436, f(x_3)\approx0{,}0024.
Verificamos \bigl|f(x_2)\bigr|<10^{-2} já em 2 iterações e \bigl|x_3-x_2\bigr|\approx0{,}0033<10^{-2} em 3 iterações.
Passo 6
Tabelas de iterações (valores arredondados):
Bissecção
i
x_i
f(x_i)
(\bigl
x_i-x_{i-1}\bigr
)
1
1,5000
0,0347
–
2
1,2500
-0,1057
0,2500
3
1,3750
-0,0422
0,1250
4
1,4375
-0,0155
0,0625
5
1,46875
0,0077
0,03125
Posição falsa
i
x_i
f(x_i)
(\bigl
x_i-x_{i-1}\bigr
)
1
1,2845
-0,0910
–
2
1,4078
-0,0232
0,1233
3
1,4376
-0,0155
0,0298
4
1,4576
0,0055
0,0200
Ponto-fixo
i
x_i
f(x_i)
(\bigl
x_i-x_{i-1}\bigr
)
1
1,4280
-0,0124
0,0280
2
1,4403
-0,0041
0,0123
3
1,4436
0,0024
0,0033
Passo 7
Analisando os critérios:
Critério \bigl|f(x_i)\bigr|<10^{-2}: bissecção em 5 iterações, posição falsa em 4, ponto-fixo em 2.
Critério \bigl|x_{i}-x_{i-1}\bigr|<10^{-2}: só o ponto-fixo satisfaz (3 iterações).
O método do ponto-fixo convergiu mais rápido em ambos os critérios.
Resposta
Bissecção: x\approx1,46875 (5 iterações)
Posição falsa: x\approx1,4576 (4 iterações)
Ponto-fixo: x\approx1,4436 (3 iterações)
O método do ponto-fixo é o que converge mais rapidamente.