Verifique se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\biggr)^{n}.
Este é um caso típico de série com termo geral elevado a n, e vamos usar o Teste da raiz para séries de termos não negativos.

Passo 2

Denotemos
a_{n} = \biggl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\biggr)^{n}.
O Teste da raiz diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
existe e satisfaz L<1, então a série \sum a_{n} converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 3

Calculemos
\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}.
Para n\to\infty, dividindo numerador e denominador por n^{2}, obtemos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 + \tfrac{1}{n^{2}}}{2 + \tfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Como L = \tfrac{1}{2} < 1, o Teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\bigr)^{n} é convergente.

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