Use o método da, bissecção, posição falsa e o método do ponto fixo para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor ou igual a 10^{-2}.
Observação: Depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela com cada método e com o resultado de cada iteração dos três métodos, onde para cada função você deve usar os critérios de parada \left|f\left(x_{i}\right)\right|<10^{-2} e \left|x_{i+1}-x_{i}\right|<10^{-2}, observando a convergência e em qual critério de parada a convergência ocorre de maneira mais rápida.
f(x)=x \log (x)-1

Passo 1

Temos a equação
f(x)=x\ln(x)-1
e queremos a raiz positiva com erro \le10^{-2} pelos métodos da bissecção, da posição falsa e do ponto fixo.
Critérios de parada: \displaystyle |f(x_i)|<10^{-2} ou \displaystyle |x_{i+1}-x_i|<10^{-2}.

Passo 2

Aplicando o método da bissecção em [a,b]=[1,2]:
i) calcule c=(a+b)/2 e f\text{(c)};
ii) troque a ou b de modo que f(a)\,f(b)<0.
Iterações:
\begin{array}{c|c|c} i & x_i=c_i & f(x_i)=x_i\ln(x_i)-1\\hline 1 & 1,5000 & -0,3925\\\\ 2 & 1,7500 & -0,0198\\\\ 3 & 1,8750 & +0,1783\\\\ 4 & 1,8125 & +0,0780\\\\ 5 & 1,78125 & +0,0320\\\\ 6 & 1,765625 & +0,0070 \end{array}
Na iteração 6 temos |f(x_6)|\approx7\times10^{-3}<10^{-2}, então paramos pelo critério \bigl|f(x)\bigr|<10^{-2}.

Passo 3

Método da posição falsa em [1,2]:
x_{i+1}=\frac{a_i\,f(b_i)-b_i\,f(a_i)}{f(b_i)-f(a_i)}.
\begin{array}{c|c|c} i & x_i & f(x_i)\\hline 1 & 1,7220 & -0,0642\\\\ 2 & 1,7630 & +0,0018 \end{array}
Em i=2 \bigl|f(x_2)\bigr|\approx1{,}8\times10^{-3}<10^{-2}, logo parámos pelo critério \bigl|f(x)\bigr|<10^{-2}.

Passo 4

Método do ponto fixo: reescrevemos
x=\exp\bigl(1/x\bigr)\quad\Longrightarrow\quad x_{i+1}=g(x_i)=e^{1/x_i}.
Escolhendo x_0=1,5 e iterando:
\begin{array}{c|c|c|c} i & x_i & f(x_i)=x_i\ln(x_i)-1 & |x_i-x_{i-1}|\\hline 1 & 1,9487 & +0,2994 & 0,4487\\\\ 2 & 1,6713 & -0,0796 & 0,2774\\\\ 3 & 1,8185 & +0,0676 & 0,1472\\\\ 4 & 1,7333 & -0,0473 & 0,0852\\\\ 5 & 1,7811 & +0,0192 & 0,0478\\\\ 6 & 1,7531 & -0,0162 & 0,0280\\\\ 7 & 1,7693 & +0,0102 & 0,0162\\\\ 8 & 1,7603 & -0,0063 & 0,0090 \end{array}
Na iteração 8 vale \bigl|x_8-x_7\bigr|\approx9\times10^{-3}<10^{-2} e \bigl|f(x_8)\bigr|\approx6\times10^{-3}<10^{-2}, então paramos pelo critério \bigl|x_{i+1}-x_i\bigr|<10^{-2}.

Passo 5

Tabela comparativa dos x_i em cada método:
Iteração Bissecção x_i Posição Falsa x_i Ponto Fixo x_i
1 1,5000 1,7220 1,9487
2 1,7500 1,7630 1,6713
3 1,8750 1,8185
4 1,8125 1,7333
5 1,78125 1,7811
6 1,765625 1,7531
7 1,7693
8 1,7603
Convergência:
  • Bissecção: 6 iterações, critério \bigl|f(x)\bigr|<10^{-2}.
  • Posição falsa: 2 iterações, critério \bigl|f(x)\bigr|<10^{-2}.
  • Ponto fixo: 8 iterações, critério \bigl|x_{i+1}-x_i\bigr|<10^{-2}.

Resposta

O método da posição falsa foi o mais rápido, atingindo \bigl|f(x)\bigr|<10^{-2} em apenas 2 iterações; bissecção precisou de 6 iterações e ponto fixo de 8 iterações.

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