Use o método da, bissecção, posição falsa e o método do ponto fixo para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor ou igual a 10^{-2}.
Observação: Depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela com cada método e com o resultado de cada iteração dos três métodos, onde para cada função você deve usar os critérios de parada \left|f\left(x_{i}\right)\right|<10^{-2} e \left|x_{i+1}-x_{i}\right|<10^{-2}, observando a convergência e em qual critério de parada a convergência ocorre de maneira mais rápida.
f(x)=4 \sin (x)-e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva de
f(x)=4\sin(x)-e^{x}
usando os métodos da bissecção, da posição falsa e do ponto‐fixo, com critérios de parada \bigl|f(x_i)\bigr|<10^{-2} e \bigl|x_{i+1}-x_i\bigr|<10^{-2}. Vamos primeiro achar um intervalo [a,b] com mudança de sinal para iniciar bissecção e posição falsa, e depois escolher uma forma conveniente g(x) para o ponto‐fixo.

Passo 2

Verificamos em a=0 e b=1:
f(0)=4\cdot0 - e^0 = -1,\quad f(1)=4\sin(1)-e^1\approx4\cdot0,8415-2,7183=0,642.
Como f(0)\,f(1)<0, o intervalo [0,1] contém a raiz.

Passo 3

Aplicando bissecção em [0,1]: em cada iteração
x_i=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2},
atualizamos [a_i,b_i] conforme o sinal de f(x_i). A tabela abaixo resume até o primeiro i em que \bigl|f(x_i)\bigr|<10^{-2} e \bigl|x_i-x_{i-1}\bigr|<10^{-2}.
i x_i f(x_i) (\bigl f(x_i)\bigr ) (\bigl x_i-x_{i-1}\bigr )
1 0,5000 0,2689 0,2689
2 0,2500 –0,2945 0,2945 0,2500
3 0,3750 0,0077 0,0077 < 0,01 0,1250
4 0,3125 –0,1381 0,1381 0,0625
5 0,3438 –0,0587 0,0587 0,0313
6 0,3594 –0,0256 0,0256 0,0156
7 0,3672 –0,0124 0,0124 0,0078 < 0,01
8 0,3711 –0,0027 0,0027 < 0,01 0,0039 < 0,01
Logo, a bissecção satisfaz os dois critérios em i=8, dando
x\approx0,3711.

Passo 4

Aplicando o método da posição falsa em [0,1]:
x_i = b_{i-1} - f(b_{i-1})\frac{b_{i-1}-a_{i-1}}{f(b_{i-1})-f(a_{i-1})},
ajustando o intervalo pelo sinal de f(x_i). A tabela:
i x_i f(x_i) (\bigl x_i-x_{i-1}\bigr )
1 0,6088 0,4533
2 0,4188 0,1043 0,1900
3 0,3758 0,0075 < 0,01 0,0430
4 0,3730 0,0034 < 0,01 0,0028 < 0,01
Aqui os dois critérios são satisfeitos em i=4, dando
x\approx0,3730.

Passo 5

Para o método do ponto‐fixo escolhemos
g(x)=\arcsin\bigl(e^x/4\bigr),
pois a raiz satisfaz \sin(x)=e^x/4. Tomando x_0=0,5 e iterando x_{i+1}=g(x_i), temos:
i x_i (\bigl x_i-x_{i-1}\bigr ) (\bigl f(x_i)\bigr )
1 0,4246 0,1237
2 0,3925 0,0321 0,0485
3 0,3791 0,0134 0,0195
4 0,3733 0,0058 < 0,01 0,0071 < 0,01
Ambos os critérios são satisfeitos em i=4, resultando em
x\approx0,3733.

Passo 6

Comparando a velocidade de convergência:
  • Bissecção: 8 iterações.
  • Posição falsa: 4 iterações.
  • Ponto‐fixo: 4 iterações.
O método da posição falsa atinge \bigl|f(x_i)\bigr|<10^{-2} já em i=3, enquanto o ponto-fixo e a bissecção demoram mais.

Resposta

A raiz positiva aproximada (erro <=10^{-}^{2}) é:
bissecção: 0,3711
posição falsa: 0,3730
ponto-fixo: 0,3733

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