Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
x+y=3, x=4-(y-1)^2; ao redor da reta y=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=4 a região do plano limitada por
x + y = 3
e
x = 4 - (y-1)^2
Como o eixo de rotação é horizontal, vamos usar o método das cascas cilíndricas integrando em y.

Passo 2

Para achar os extremos de integração em y, igualamos as duas expressões de x:
3 - y = 4 - (y-1)^2
Longrightarrow (y-1)^2 - y + 1 = 0
Longrightarrow y^2 -2y +1 -y +1 = 0
Longrightarrow y(y-3)=0
Logo, y varia de 0 a 3.

Passo 3

Em cada yin[0,3] a casca tem:
  • raio
r(y)=l|!4 - yr| = 4 - y,
pois y<=3<4;
  • altura igual à diferença entre a abscissa da parábola e a da reta:
h(y)=l[,4-(y-1)^2r] - l[,3-yr] = -y^2+3y

Passo 4

O volume é
V = 2pi integraly=0^3 r(y),h(y),dy = 2pi integral0^3 (4 - y),( -y^2+3y),dy
Expandindo:
(4 - y),( -y^2+3y) = -4y^2+12y + y^3 -3y^2 = 12y -7y^2 + y^3

Passo 5

Calculamos
V = 2pi integral0^3 l(12y -7y^2 + y^3r),dy = 2pi l[6y^2 - tfrac73y^3 + tfrac14y^4r]0^3
= 2pi l(6cdot9 - tfrac73cdot27 + tfrac14cdot81r) = 2pi l(54 - 63 + 20,25r) = 2pi cdot 11,25 = 22,5pi

Resposta

V = 45pi2

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