Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=x^2-6 x+10, y=-x^2+6 x-6; ao redor da reta x=5.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=5 a região entre as curvas
y1(x)=x^2-6x+10
e
y2(x)=-x^2+6x-6
Aqui usamos o método de cascas cilíndricas, em que cada casca vertical, em abscissa x, tem raio igual a |5-x| e altura igual à diferença y2(x)-y1(x).

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo
x^2-6x+10 = -x^2+6x-6
Isto dá
2x^2-12x+16=0 Longrightarrow x^2-6x+8=0
com raízes
x=6pmraiz36-322=2,4
Logo a região está em 2<= x<=4.

Passo 3

Em cada xin[2,4]:
  • o raio da casca é R(x)=5-x (positivo pois x<=4<5);
  • a altura da casca é H(x)=y2(x)-y1(x) =l(-x^2+6x-6r)-l(x^2-6x+10r) =-2x^2+12x-16

Passo 4

O volume pelo método de cascas é
V = 2pi integralx=2^4 R(x),H(x),dx =2pi integral2^4 (5-x)l(-2x^2+12x-16r),dx
Expandindo o integrando:
(5-x)(-2x^2+12x-16) =2x^3 -22x^2 +76x -80
Então
V = 2pi integral2^4 l(2x^3 -22x^2 +76x -80r),dx
Calculando a integral:
integral l(2x^3 -22x^2 +76x -80r),dx =tfrac12 x^4 -tfrac223x^3 +38x^2 -80x,
avaliando de 2 a 4 resulta em tfrac163. Portanto
V = 2pi cdot 163 = 32pi3

Resposta

32pi3

Exercícios relacionados