Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
x=raizy, x=0, y=1; ao redor da reta y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas x=raizy, x=0 e y=1 em torno da reta y=2. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, onde escolhemos fatias horizontais para montar as cascas.

Passo 2

Cada casca de espessura dy, localizada na altura y, tem:
  • raio igual à distância da casca até a reta y=2, ou seja rho = 2 - y;
  • altura igual ao comprimento horizontal da região, que vai de x=0 até x=raizy, logo h = raizy.

Passo 3

O volume de uma casca é dV = 2pi ,rho,h,dy. Então o volume total é
V = integraly=0^1 2pi,(2 - y),raizy,dy

Passo 4

Para calcular a integral, expandimos o integrando:
(2 - y),raizy = 2,y^1/2 - y^3/2
Assim,
V = 2pi integral0^1l(2,y^1/2 - y^3/2r)dy = 2pil[2cdoty^3/23 - y^5/25r]0^1 = 2pil(43 - 25r) = 2picdot1415

Resposta

V = 28pi15

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