Use o Teorema 7.1.1 para determinar mathcalLf(t).
f(t)=(1+e^2 t)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t) = l(1 + e^2tr)^2. O conteúdo da matéria é o uso da linearidade da transformada de Laplace e o Teorema 7.1.1, que dá a transformada de e^at:
Le^at(s) = 1s - a, s>a
Vamos expandir f(t) e depois aplicar linearidade e o Teorema 7.1.1.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
l(1 + e^2tr)^2 = 1 + 2,e^2t + e^4t

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
L,1 + 2e^2t + e^4t(s) = L1(s) + 2,Le^2t(s) + Le^4t(s)

Passo 4

Usando fórmulas conhecidas:
L1(s) = 1s, Le^2t(s) = 1s-2, Le^4t(s) = 1s-4,
válido para Re(s)>max0,2,4=4.

Passo 5

Somando os termos, obtemos
Lf(t)(s) = 1s + 2cdot1s-2 + 1s-4

Resposta

boxedL(1+e^2t)^2(s) = 1s + 2s-2 + 1s-4, Re(s)>4

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