Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; ao redor do eixo
.
Passo 1
Estamos girando em torno do eixo
a região limitada por
, por
e por
. O que precisamos é do volume desse sólido usando o método das cascas cilíndricas, que consiste em tomar tiras horizontais na região, girá-las e somar os volumes de cada “casca”.
Passo 2
Tomemos uma tira horizontal a uma altura
, com espessura
. Para esse
, a região vai de
em que
até
. Como
, temos
. Logo:
– raio da casca (distância ao eixo )
,
– altura da casca (comprimento da tira) .
– raio da casca (distância ao eixo
– altura da casca (comprimento da tira)
Passo 3
O volume de cada casca é dado por
Passo 4
Somando todas as cascas de
até
, o volume total é
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido é
.