Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=x^2, y=0, x=1; ao redor do eixo x.

Passo 1

Estamos girando em torno do eixo x a região limitada por y = x^2, por y = 0 e por x = 1. O que precisamos é do volume desse sólido usando o método das cascas cilíndricas, que consiste em tomar tiras horizontais na região, girá-las e somar os volumes de cada “casca”.

Passo 2

Tomemos uma tira horizontal a uma altura y, com espessura dy. Para esse y, a região vai de x em que y = x^2 até x=1. Como y = x^2, temos x = raizy. Logo:
– raio da casca (distância ao eixo x) = y,
– altura da casca (comprimento da tira) = xdireita - xesquerda = 1 - raizy.

Passo 3

O volume de cada casca é dado por
dV = 2pi times (raio) times (a<ura),dy = 2pi,yl(1 - raizyr),dy

Passo 4

Somando todas as cascas de y=0 até y=1, o volume total é
V = integral0^1 2pil(y - y^3/2r),dy

Passo 5

Vamos calcular a integral:
V = 2pi [integral0^1 y,dy ;-;integral0^1 y^3/2,dy] = 2pi l[tfrac12 y^2 - tfrac25y^5/2r]0^1 = 2pil(tfrac12 - tfrac25r) = 2picdottfrac110 = tfracpi5

Resposta

O volume do sólido é pi5.

Exercícios relacionados