Use o método da variação de parâmetros:
X^prime=(rr3 & -1 -1 & 3) X+binom4 e^2 t4 e^4 t, X(0)=binom11

Passo 1

O enunciado fornece o sistema inhomogêneo
X'=A,X+f(t),
com
A=3 & -1 [0.3em] -1 & 3, f(t)=4e^2t[0.3em]4e^4t,
e condição inicial X(0)=(1,1)^T.
O método de variação de parâmetros para sistemas diz que, se Phi(t) é matriz fundamental de X'=AX, então procuramos
Xp(t)=Phi(t),u(t),
com u'(t)=Phi(t)^-1f(t).]

Passo 2

Primeiro resolvemos o homogêneo X'=AX. O polinômio característico é
det(A-lambda I)=(3-lambda)^2-1=lambda^2-6lambda+8=0,
com raízes lambda1=2, lambda2=4.
Os autovetores são
v1=11(lambda=2), v2=1-1(lambda=4)
Logo uma matriz fundamental é
Phi(t)=l[e^2tv1,;e^4tv2r] =e^2t&e^4t[0.3em]e^2t&-e^4t
]

Passo 3

Calculamos Phi(t)^-1. O determinante é
detPhi(t)=-2,e^6t,
logo
Phi(t)^-1 =1-2e^6t -e^4t&-e^4t[0.3em]-e^2t&e^2t =12e^6t e^4t&e^4t[0.3em]e^2t&-e^2t
Em seguida
u'(t)=Phi(t)^-1f(t) =12e^6t e^4t&e^4t[0.3em]e^2t&-e^2t 4e^2t[0.3em]4e^4t =2+2e^2t[0.3em]2e^-2t-2 ]

Passo 4

Integramos componente a componente, desprezando constantes de integração para obter uma particular:
u1(t)=integral(2+2e^2t),dt=2t+e^2t, u2(t)=integral(2e^-2t-2),dt=-e^-2t-2t

Passo 5

O particular é
Xp(t) =Phi(t)u1(t)[0.3em]u2(t) =e^2tu1(t),v1+e^4tu2(t),v2
Fazendo as multiplicações e somando ao homogêneo geral
X(t) =C1e^2tv1+C2e^4tv2+Xp(t),
impondo X(0)=(1,1)^T obtém-se C1=0, C2=1.]

Passo 6

Substituindo e simplificando os termos, chega-se à solução aberta
X1(t)=(2t-1)e^2t+2(1-t)e^4t, X2(t)=(2t+1)e^2t+2t,e^4t

Resposta

boxed X(t) = (2t-1)e^2t+2(1-t)e^4t[0.3em] (2t+1)e^2t+2t,e^4t ]

Exercícios relacionados