Use o método discutido em “Equações com coeficientes lineares” para resolver os problemas a seguir.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
onde as funções que multiplicam
e
são afins (coeficientes lineares em
mais constantes). O método de “equações com coeficientes lineares” consiste em fazer uma translação de variáveis para eliminar os termos constantes, reduzindo a equação a uma forma homogênea de grau 1 que podemos resolver por substituição.
Passo 2
Primeiro encontramos o ponto estacionário
Da segunda equação vem (x = 2y+2]. Substituindo na primeira:
e então
e então
Passo 3
Fazemos a translação
Substituindo na equação original, os termos constantes cancelam e obtemos
que é homogênea de grau 1 em
.
Passo 4
Para resolver
usamos a substituição
, logo
. Substituindo e simplificando, chega-se a uma equação separável em
e
. Após integrar, obtém-se a forma implícita
Voltando a
e
, como
, isso resulta em
Passo 5
Finalmente, retornamos às variáveis originais via
de modo que a solução geral em
é
que pode também ser rearranjada em forma mais simples, por exemplo
sendo
constante arbitrária.
Resposta
ou equivalente