Use o método discutido em “Equações com coeficientes lineares” para resolver os problemas a seguir.
(2 x+y+4) d x+(x-2 y-2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
(2x+y+4),dx + (x-2y-2),dy = 0
onde as funções que multiplicam dx e dy são afins (coeficientes lineares em x,y mais constantes). O método de “equações com coeficientes lineares” consiste em fazer uma translação de variáveis para eliminar os termos constantes, reduzindo a equação a uma forma homogênea de grau 1 que podemos resolver por substituição.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto estacionário
Da segunda equação vem (x = 2y+2]. Substituindo na primeira:

e então

Passo 3

Fazemos a translação
X = x - x0 = x + 65, Y = y - y0 = y + 85
Substituindo na equação original, os termos constantes cancelam e obtemos
(2X+Y),dX + (X-2Y),dY = 0,
que é homogênea de grau 1 em X,Y.

Passo 4

Para resolver
(2X+Y),dX + (X-2Y),dY = 0
usamos a substituição Y = uX, logo dY = u,dX + X,du. Substituindo e simplificando, chega-se a uma equação separável em X e u. Após integrar, obtém-se a forma implícita
X^2l(u^2 - u - 1r) = C
Voltando a X e Y, como u = tfracYX, isso resulta em
Y^2 - X,Y - X^2 = C

Passo 5

Finalmente, retornamos às variáveis originais via
X = x + 65, Y = y + 85,
de modo que a solução geral em x,y é
l(y+tfrac85r)^2 ;-;l(x+tfrac65r)l(y+tfrac85r);-;l(x+tfrac65r)^2 = C,
que pode também ser rearranjada em forma mais simples, por exemplo
y^2 - xy - x^2 + 2y - 4x = K,
sendo K constante arbitrária.

Resposta

boxed;(y+tfrac85)^2 - (x+tfrac65)(y+tfrac85) - (x+tfrac65)^2 = C,;
ou equivalente
boxed;y^2 - xy - x^2 + 2y - 4x = constante;

Exercícios relacionados